第二章 第8讲 函数与方程-【金版教程】2023高考理科数学一轮复习解决方案word（老教材，经典版）

第8讲　函数与方程 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 3．二分法 (1)二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2)二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； ②求区间(a，b)的中点c； ③计算f(c) (ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (ⅲ)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))； ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④. 　有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根. (5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)的闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 1．(2021·云南玉溪一中二调)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 答案　B 解析　易知函数f(x)＝2x＋3x在定义域上单调递增，且f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以由零点存在定理得，零点所在的区间是(－1，0).故选B. 2．函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin x cos x＝0，∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0，2π]，∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B. 3．设x0是方程＝的解，则x0所在的范围是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　构造函数f(x)＝－，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(0)＝－＝1>0，f＝－ ＝－>0，f＝－ ＝－<0，所以由零点存在定理可得函数f(x)＝－在内存在零点，即x0∈.故选B. 4．函数f(x)＝ex＋3x的零点有 个． 答案　1 解析　∵f(x)＝ex＋3x在R上是单调递增函数，且f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝1>0，∴函数f(x)有1个零点． 5．函数y＝－m有两个零点，则m的取值范围是 ． 答案　(0，1) 解析　如图，作出y＝的图象．则当0<m<1时，直线y＝m与曲线y＝的图象有两个交点，即函数y＝－m有两个零点． 6．(2022·四川遂宁模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的所有零点所构成的集合为 ． 答案　 解析　由题意，知f(f(x))＝－1，所以f(x)＝－2或f(x)＝，则函数y＝f(f(x))＋1的零点就是使f(x)＝－2或f(x)＝的x值．解f(x)＝－2，得x＝－3或x＝；解f(x)＝，得x＝－或x＝.从而函数y＝f(f(x))＋1的零点构成的集合为. 考向一　函数零点所在区间的判断 例1　(1)设函数y＝x2与y＝的图象交点为(x0，y0)，则x0所在区间是(　　) A．