第二章 第5讲 指数与指数函数-【金版教程】2023高考理科数学一轮复习解决方案word（老教材，经典版）

第5讲　指数与指数函数 1．指数及指数运算 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 — n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ±(a＞0) 负数没有偶次方根 (2)分数指数幂 ①a＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)； ②a＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (3)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 2．指数函数及其性质 (1)指数函数的概念 函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． 说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数． (2)指数函数的图象和性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 1．()n＝a(n∈N*且n>1). 2.＝n为偶数且n>1. 3．底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高． 4．当a>0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称． 1．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　) A．－9 B．7 C．－10 D．9 答案　B 解析　[(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝7. 2．函数f(x)＝＋1(x≥0)的值域为(　　) A．(－∞，2] B．(2，＋∞) C．(0，2] D．(1，2] 答案　D 解析　∵当x≥0时，∈(0，1]，∴＋1∈(1，2]，即函数f(x)的值域为(1，2]. 3．(2021·四川南充模拟)已知(0.61.2)a＞(1.20.6)a，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 答案　B 解析　由指数函数y＝0.6x是减函数知，0<0.61.2<0.60＝1.由指数函数y＝1.2x是增函数知，1.20.6＞1.20＝1，∴0.61.2<1.20.6.由(0.61.2)a＞(1.20.6)a可知，幂函数y＝xa在第一象限应为减函数，故a<0，故选B. 4．(2022·河南南阳模拟)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 答案　D 解析　因为y＝在R上为减函数，>，所以b<c.又y＝x在(0，＋∞)上为增函数，>，所以a>c，所以b<c<a.故选D. 5．(2020·北京高考)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　) A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　因为f(x)＝2x－x－1，所以f(x)＞0等价于2x＞x＋1，在同一直角坐标系中作出y＝2x和y＝x＋1的图象如图，两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)，所以不等式2x＞x＋1的解为x＜0或x＞1.所以不等式f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D. 6．若x＋x－1＝3，则x＋x＝ ；x2＋x－2＝ ． 答案　　7 解析　∵(x＋x)2＝x＋x－1＋2＝5，且x＋x>0，∴x＋x＝.又(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9，∴x2＋x－2＝7. 考向一　指数幂的运算 例1　求值与化简： (1)8×100－××； (2) (3) (4)已知a>0，a＋a＝3，求的值． 解　(1)原式＝(23) ×(102) ×(2－2)－3×＝22×10－1×26×＝86. (4)将a＋a＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47，所以＝＝6. 　　指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．