第一章 第3讲 简单逻辑联结词、全称量词与存在量词-【金版教程】2023高考理科数学一轮复习解决方案word（老教材，经典版）

第3讲　简单逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)． (3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)． 2．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，¬p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，¬p(x) 1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定 p q p∧q p∨q ¬p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p与¬p→真假相反． 3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”． 4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理． 5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”． 1．命题p：“∀x∈N*，≤”的否定为(　　) A．∀x∈N*，> B．∀x∉N*，> C．∃x0∉N*，> D．∃x0∈N*，> 答案　D 解析　全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D. 2．(2022·山西大同摸底)已知命题p，q，则“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若¬p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题，所以充分性不成立．p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则¬p为假命题，所以必要性成立．所以“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件． 3．若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.[－1，3] B．(－1，3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案　D 解析　因为命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3. 4．(2021·云南丽江模拟)命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p∨(¬q)表示(　　) A．甲、乙两人数学成绩都低于100分 B．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分 C．甲、乙两人数学成绩都不低于100分 D．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 答案　D 解析　因为命题q：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p∨(¬q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D. 5．设有下面四个命题： p1：∃n0∈N，n>2n0； p2：x∈R，“x>1”是“x>2”的充分不必要条件； p3：命题“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题； p4：若“p∨q”是真命题，则p一定是真命题． 其中为真命题的是(　　) A．p1，p2 B．p2，p3 C．p2，p4 D．p1，p3 答案　D 解析　∵n0＝3时，32>23，∴∃n0∈N，n>2n0，∴p1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x>2能推出x>1，x>1不能推出x>2，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，∴p2是假命题；根据逆否命题的定义可知p3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p4为假命题．故选D. 6．已知命题p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0，4)，命题q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是(　　) A．p∧q B．p∧(¬q) C．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∧q 答案　D 解析　命题p：a＝0时，可得1>0恒成立；a≠0时，可得解得0<a<4.综上，可得实数a∈[0，4)，因此p是假命题，则¬p是真命题；命题q：由x2－2x－8>0解得x>4或x<－2.因此“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p)∧q是真命题．故选D. 考向一　含有逻辑联结词命题真假的判断 例1　(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：