第一章 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件-【金版教程】2023高考理科数学一轮复习解决方案word（老教材，经典版）

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2．四种命题及其关系 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件． (2)若p是q的充分不必要条件，则¬q是¬p的充分不必要条件． 4．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件； (6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 1．若集合A＝{2，4}，B＝{1，m2}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当m＝2时，有A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则m2＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.故选B. 2．(2021·吉林长春高三监测(三))已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥α，a∥β D．a∥α，a⊥β 答案　D 解析　a∥α，过直线a作平面与α交于直线b，∴a∥b，又a⊥β，∴b⊥β，又b⊂α，∴α⊥β.故选D. 3．有下列几个命题： ①“若a>b，则>”的否命题； ②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题． 其中真命题的序号是(　　) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 答案　C 解析　①原命题的否命题为“若a≤b，则≤”，假命题；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故其逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③. 4．(2021·河南重点中学高三联考)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当x＝2kπ＋(k∈Z)时，tan x＝1，即充分性成立；当tan x＝1时，x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)，即必要性不成立．综上可得，“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”的充分不必要条件．故选A. 5．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是 ． 答案　若x，y∈R，x2＋y2≠0，则x，y不全为0 解析　根据命题“若p，则q”的否命题为“若¬p，则¬q”，其原命题的否命题是“若x，y∈R，x2＋y2≠0，则x，y不全为0”． 6．(2022·安徽芜湖高三摸底)已知p：x2－7x＋10<0，q：x2－4mx＋3m2<0，其中m>0.若¬q是¬p的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ． 答案　 解析　由¬q是¬p的充分不必要条件知p是q的充分不必要条件，又p：2<x<5，q：m<x<3m，所以即≤m≤2. 考向一　四种命题及其相互关系 例1　写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假： (1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数； (2)在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B； (3)若x2－2x－3>0，则x<－1或x>3. 解　(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数. 逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0. 否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数． 逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0. 这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题． (2)逆命题：在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC. 否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B. 逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC. 这里，四种命题都是真命题． (3)逆命题：若x<－1或x>3，则x2－2x－3>0. 否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3. 逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0. 这里，四种命题都是真命题．