第二篇 第一章 第5节 全称量词与存在量词-【创新教程】2022初升高数学衔接教材一本通

２．解析:(１)由x(x－２)＜０得０＜x＜２,因为{x|０ ＜x＜２},所以“x∈{x|x≥－１}”是“不等式x(x －２)＜０成立”的一个必要不充分条件． (２)证明　充分性:若ac＜０,则b２－４ac＞０,且 c a＜０ , ∵方程ax２＋bx＋c＝０有两个相异实根,且两 根异号,即方程有一正根和一负根． 必要性:若一元二次方程ax２＋bx＋c＝０有一 正根一负根,则 Δ＝b２－４ac＞０,x１x２＝ c a ＜０． ∴ac＜０． 答案:(１)B　(２)见解析 ３．解:因为“x∈P”是x∈Q 的必要条件,所以Q⊆ P． 所以 a－４≤１, a＋４≥３,{ 解得－１≤a≤５ 即a的取值范围是{a|－１≤a≤５}． 课堂达标 １．C　[因为{x|－１＜x＜３}⫋{x|x＜３},所以p 是q 成立的必要不充分条件．] ２．A　[由x２＜４得－２＜x＜２,必要不充分条件的 x的范围真包含{x|－２＜x＜２}] ３．A　[当x≥２且y≥２时,一定有x２＋y２≥４;反 过来当x２＋y２≥４,不一定有x≥２且y≥２,如x ＝－４,y＝０,故选 A．] ４．{a|a＜１} ５．解:(１)c＝０⇒抛物线y＝ax２＋bx＋c(a≠０)过 原点;抛物线y＝ax２＋bx＋c(a≠０)过原点⇒c ＝０．故p是q 的充要条件,q是p 的充要条件． (２)x＞１且y＞１⇒x＋y＞２且xy＞１;而x＋y ＞２且xy＞１⇒/x＞１且y＞１．故p 是q 的充分 不必要条件,q是p 的必要不充分条件． (３)０＜x＜３⇒|x－１|＜２,|x－１|＜２⇒－１＜x＜３ ⇒/０＜x＜３．故p是q的充分不必要条件,q是p的 必要不充分条件． 课后检测评价 １．B　２．A ３．A　[因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲．又因 为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所 以丙⇒乙,但乙不能推出丙,综上有丙⇒乙⇒ 甲．但乙不能推出丙,故有丙⇒甲,但甲不能推出 丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件．] ４．D　[充分性:若x＋y＞０,则可得x,y有三种可 能:①两个都为正;②一个为正、一个为零;③一 个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的 绝对值．故xy＞０或xy＜０或xy＝０,故“x＋y ＞０”不是“xy＞０”的充分条件．必要性:若xy＞ ０,则x＞０,y＞０或x＜０,y＜０,故x＋y＞０或 x＋y＜０,故“x＋y＞０”不是“xy＞０”的必要条 件．综上,“x＋y＞０”是“xy＞０”的既不充分也不 必要条件．] ５．a≤２,a≥３　６．{m|m＞２} ７．解:由题意可知, (１)因为q⇒s,s⇒r⇒q,所以s是q 的充要条件． (２)因为r⇒q,q⇒s⇒r,所以r是q 的充要条件． (３)因为q⇒s⇒r⇒p,所以p是q 的必要不充分 条件． ８．证明:必要性:对于x,y∈R,若x２＋y２＝０,则x ＝０,y＝０,即xy＝０,故xy＝０是x２＋y２＝０的 必要条件．充分性:对于x,y∈R,若xy＝０,例 如x＝０,y＝１,但x２＋y２≠０,充分性不成立,故 xy＝０不是x２＋y２＝０的充分条件．综上所述, 对于x,y∈R,xy＝０是x２＋y２＝０的必要不充 分条件． 第５节　全称量词与存在量词 课前预习导引 知识点１ 所有的　任给　每一个　一切　∀　全称量词 ∀x∈M,p(x) 知识点２ 存在一个　至少有一个　有一个　某个　有些 ∃　存在量词　∃x０∈M,p(x０) 课堂典例探究 变式训练 １．解:(１)∀一个有理数都能写成分数形式． (２)∃x０∈R,使方程x２０＋２x０＋８＝０成立． (３)∃x０∈R,它乘以任意一个实数都等于０． ２．解:(１)∵３×１＋１＝４,３×３＋１＝１０,５×３＋１＝ １６,均为偶数,∴是真命题．(２)∵x２０－６x０－５＝ ０中,Δ＝３６＋２０＝５６＞０,∴方程有两个不相等 的实根,∴是真命题．(３)∵x２０－x０＋１＝０中,Δ ＝１－４＝－３＜０,∴x２０－x０＋１＝０无解,∴是假 命题．(４)∵x＝－１时,|－１＋１|＝０,∴是假命题． ３．解析:(１)􀱑p:∃x∈R,x２－x＋１４＜０． ∵∀x∈R,x２－x＋１４＝ x－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ≥０恒成立, ∴􀱑p是假命题． (２)􀱑q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题． (３)􀱑r:∀x∈R,x２＋３x＋７＞０． ∵∀x∈R,x２＋３x＋７＝ x＋３２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋１９４＞０ 恒 成立,∴􀱑r是真命题． (４)􀱑s:∀x∈R,x３＋１≠０． ∵当x＝－１时,x３＋１＝０,∴􀱑s是假命题． 课堂达标 １．A　[只有 A,C两个选项中的命题是全称命题; 且 A 显然为真命题．因为 ２是无理数,而(２)２ ＝２不是无理数,所以C为假命