考向11 对数与对数函数（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向11 对数与对数函数 【2022·全国·高考真题（文）】已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】 由可得，而，所以，即，所以． 又，所以，即， 所以．综上，． 故选：A. 【2022·全国·高考真题】设，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、 商、幂再运算.| 3.，且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.识别对数函数图象时，要注意底数以1为分界：当时，是增函数；当时，是减函数.注意对数函数图象恒过定点，且以轴为渐近线. 5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 6.比较对数值的大小 (1)若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较 (2)若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较 (3)若底数、真数均不同，引入中间量进行比较 7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤: (1)求出函数的定义域； (2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论； (3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 1.换底公式的两个重要结论 (1)(2).其中，且，且. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大 3.对数函数，且的图象过定点，且过点，函数图象只在第一、四象限. 1.对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 2.对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 1．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用指对互化以及指对函数的性质进行比较即可. 【详解】 由，，可得. 故选：C. 2．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 分别判断出每个数的范围，然后比较即可. 【详解】 因为，，，所以. 故选：D. 3．（2022·全国·模拟预测（文））已知，用科学记数法表示为，则的值约为（       ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意得，再分析求解即可. 【详解】 因为，，所以， 所以，所以， 又无限接近于，所以. 故选：B. 4．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：，，，则（       ） A．，，为“同形”函数 B．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数 C．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数 D．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题中“同形”函数的定义和、均可化简成以3为底的指数形式，可得答案． 【详解】 解：， ， 故，的图象可分别由的图象向左平移个单位、向右平移1个单位得到， 故，，为“同形”函数． 故选：A． 5．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知对数函数的图像经过点与点，，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【