考向10 指数与指数函数（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向10 指数与指数函数 【2022·北京·高考真题】已知函数,则对任意实数x,有( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接代入计算,注意通分不要计算错误. 【详解】 ,故A错误,C正确; ,不是常数,故BD错误; 故选:C. 【2022·全国·高考真题(文)】已知,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指对互化以及对数函数的单调性即可知,再利用基本不等式,换底公式可得,,然后由指数函数的单调性即可解出. 【详解】 由可得,而,所以,即,所以. 又,所以,即, 所以.综上,. 故选:A. 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 4.有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断. 5.利用指数函数的性质比较幂值的大小,先看能否化成同底数,能化成同底数的先化成同底数幂,再利用函数单调性比较大小,不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小; 6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式,先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数单调性转化为一般不等式求解; 7.解答指数函数性质的综合应用,首先判断指数型函数的性质,再利用其性质求解。 1.画指数函数,且的图象,应抓住三个关键点: 2.在第一象限内,指数函数且的图象越高,底数越大. 3.有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域 形如的函数的定义域就是的定义域. 求形如的函数的值域,应先求出的值域,再由单调性求出的值域.若的范围不确定,则需对进行讨论. 求形如的函数的值域,要先求出的值域,再结合的性质确定出的值域. (2)判断复合函数的单调性 令,如果复合的两个函数与的单调性相同,那么复合后的函数在上是增函数;如果两者的单调性相异(即一增一减),那么复合函数在上是减函数. (3)研究函数的奇偶性 一是定义法,即首先是定义域关于原点对称,然后分析式子与的关系,最后确定函数的奇偶性. 二是图象法,作出函数的图象或从已知函数图象观察,若图象关于坐标原点或轴对称,则函数具有奇偶性. 1.指数及指数运算 (1)根式的定义: 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,,记为,称为根指数,称为根底数. (2)根式的性质: 当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数. 当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数. (3)指数的概念:指数是幂运算中的一个参数,为底数,为指数,指数位于底数的右上角,幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂;②零指数幂; ③负整数指数幂,;④的正分数指数幂等于,的负分数指数幂没有意义. (5)有理数指数幂的性质 ①,,;②,,; ③,,;④,,. 2.指数函数 图象 性质 ①定义域,值域 ②,即时,,图象都经过点 ③,即时,等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时,;时, 时,;时, ⑥既不是奇函数,也不是偶函数 1.(2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测(文))设,且,则=( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意求得函数,结合指数幂的运算,即可求解. 【详解】 由题意,函数, 因为,可得,解得,即, 所以. 故选:B. 2.(2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模(文))已知,,,则正数,,的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知求出m,n,p,再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答. 【详解】 由,得,由,得, 因此,,即, 由,得,于是得, 所以正数,,的大小关系为. 故选:A 3.(2022·上海交大附中模拟预测)设实数且,已知函数,则_. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据题意计算,进而根据求解即可 【详解】 , 而,则; 故答案为:1 4.(2022·全国·模拟预测(理))已知函数为偶函数,则_. 【答案】1 【解析】 【分析】 利用偶函数定义列出关于的方程,解之即可求得实数的值 【详解】 函数为