第07讲 空间向量基本定理 - -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第07讲 空间向量基本定理 【学习目标】 1.了解空间向量基本定理及其意义， 2.掌握空间向量的正交分解 【基础知识】 一、空间向量基本定理 1.如果三个向量a,b,c不共面 ,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc    .我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底 ,a,b,c都叫做基向量 .空间任意三个不共面 的向量都可以构成空间的一个基底 2.基向量的选择和使用方法 用已知向量表示未知向量时,选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向 量应注意: (1)所选向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断; (2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知 向量; (3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底.【解读】 3.用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 二空间向量的正交分解 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直 ,且长度都为1    ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i, j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 【考点剖析】 考点一：对平面向量基本定理的理解 例1．（多选）（2021-2022学年河北省邯郸市高二上学期期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（       ） A．若，则 B．，，两两共面，但，，不共面 C．一定存在实数x，y，使得 D．，，一定能构成空间的一个基底 【答案】ABD 【解析】∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面､不共线， ∴若，则，A正确，B正确； 若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误； 设，则，此方程组无解， ∴，，不共面，D正确.故选ABD. 考点二：对基底的理解 例2．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】如图，作平行六面体，，，， 则，，，， 由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面， 因此可以作为空间的基底的有3组．故选C． 考点三：选择基底表示某一向量 例3．（2021-2022学年河南省郑州市高二上学期期末）已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选A 考点四：选择基底求解向量的模或线段长度 例4．（2021-2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 因为 ,所以 ，所以，故选C 考点五：选择基底求解角度问题 例6．（2021-2022学年重庆市四川外语学院高二上学期10月月考）二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________. 【答案】 【解析】设平面与平面的夹角为，因为，， 所以，由题意得，所以 所以，所以，所以，即平面与平面的夹角为. 考点六：选择基底求解数量积问题 例7．（2021-2022学年江苏省南通市海安市实验中学高二下学期期中）已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（       ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】D 【解析】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为， 则， 因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，， ， 所以.故选D 【真题演练】 1. （2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中）已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（       ） A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线 C．与共线 D．O，A，B，C四点共面 2. （2021-2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，