第17讲 抛物线-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第17讲 抛物线 【学习目标】 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质 2.通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． 3.了解抛物线的简单应用 【基础知识】 一、抛物线的概念 1.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 【解读】 (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值. 特别提醒：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹不一定是抛物线. 2.抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题. (2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题. 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 二、抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 【解读】 1.利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤 (1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型. (2)求参数p的值. (3)确定抛物线的标准方程. 2.利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点:解决焦点弦问题. 3.应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便. (2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系. (3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化. 三、直线与抛物线位置关系的判断方法 设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0. (1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. (2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点: 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点. 特别提醒:判断直线与抛物线的位置关系时注意斜率是否存在,是否为0的情况讨论. 四、抛物线上的点到直线距离的最小值问题 求抛物线上的点到直线l距离最小值问题,方法一是设上的点,利用点到直线的距离公式把距离问题转化为关于y的二次函数,配方求最值,方法二是确定与l平行的切线,把问题转化为两平行线之间的距离或切点到直线距离. 五、抛物线基础性质 (1)以AB为直径的圆与准线相切； (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8)A、O、三点共线； (9)B、O、三点共线； (10)； (11)（定值）； (12)；； (13)垂直平分； (14)垂直平分； (15)； (16)； (17)； (18)； (19); (20); (21). (22)切线方程 六、抛物线的焦点弦与切线 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线, 则(1)切线交点在准线上 (2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴 (3)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 反之： (1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点 (2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径． 【考点剖析】 考点一：抛物线的方程 例1．（2021-2022学年四川省射洪中学校高二下学期期中）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设抛物线方程为，于是得，解得，所以所求抛物线方程是.故选B 考点二：