第三讲 倾斜角 斜率 直线的方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三讲 倾斜角 斜率 直线的方程 【知识储备】 一、直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 二、直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 三、两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 四、两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 五．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 题型一：直线的倾斜角和斜率 1．经过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 4．已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 5．若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 题型二：直线的倾斜角和斜率的应用 6．已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 7．若倾斜角为的直线过点和，则实数 . 8．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 题型三：直线的方程 10．过点，平行于x轴的直线方程为 ． 11．经过点且斜率为1的直线方程为 . 12．直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 13．直线在轴上的截距是 ． 14．直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 15．过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 16．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 题型四：直线的定点问题 17．对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 18．若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 题型五：两直线的位置关系及其应用 20．直线与直线平行，则实数 ． 21．已知直线与平行，则实数的取值是 . 22．若直线与直线垂直，则 ． 23．已知的三个顶点，，. (1)求边AB上的中线所在直线的一般式方程； (2)求边AB上的高所在直线的斜截式方程. 24．将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（   ） A． B． C． D． 第 2 页 共 9 页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 倾斜角 斜率 直线的方程 【知识储备】 一、直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 二、直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 三、两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 四、两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 五．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 题型一：直线的倾斜角和斜率 1．经过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用两点求斜率，再根据斜率和倾斜角的关系计算求解. 【详解】设倾斜角为，因为， 所以，又，故. 故选:D. 2．如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】，由于为常数，则直线的倾斜角为90°. 故选：C. 4．已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】由题意可知直线的斜率，再结合斜率公式运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为，则，解得. 故选：C. 5．若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式可得出，可得出实数的值. 【详解】由于、、三点共线，则， 即，解得. 故选：A. 题型二：直线的倾斜角和斜率的应用 6．已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 7．若倾斜角为的直线过点和，则实数 . 【答案】./. 【分析】根据直线斜率公式以及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线斜率，则，解得. 故答案为：. 8．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 9．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 题型三：直线的方程 10．过点，平行于x轴的直线方程为 ． 【答案】 【分析】平行于轴直线，斜率为0，方程形式为. 【详解】过点，平行于x轴的直线方程为. 故答案为： 11．经过点且斜率为1的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据直线方程的点斜式可直接求解 【详解】因为直线经过点且斜率为1， 所以，即， 故答案为：. 12．直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即， 故选：A． 13．直线在轴上的截距是 ． 【答案】 【分析】令求出所对应的的值，即可得解. 【详解】对于直线，令，可得， 所以直线在轴上的截距是. 故答案为： 14．直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化直线方程为斜截式，再求出斜率. 【详解】直线，即，所以该直线的斜率为：． 故选：D 15．过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由截距式得到直线方程. 【详解】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误. 故选：A 16．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】利用直线的截距式方程分别讨论截距是否为0即可得出结果. 【详解】当截距均为0时，即过，此时直线l的方程为； 当截距不为0时，设直线l的方程为， 满足，解得，此时直线l的方程为； 综上可得直线l的方程为或. 故答案为：或 题型四：直线的定点问题 17．对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，联立方程组可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 18．若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据直线过定点、且斜率小于0可得答案. 【详解】直线过定点， 且斜率， 故该直线不经过第三象限. 故选：C. 19．无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成即可求得定点坐标. 【详解】将直线方程整理成， 令，解得，即直线经过定点. 故选：C. 题型五：两直线的位置关系及其应用 20．直线与直线平行，则实数 ． 【答案】或 【分析】利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 21．已知直线与平行，则实数的取值是 . 【答案】或2 【分析】由直线平行的条件可求. 【详解】因为直线与平行 所以，解得或， 当和时，两直线都不重合，符合题意. 故答案为：或2. 22．若直线与直线垂直，则 ． 【答案】 【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解. 【详解】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 故答案为： 23．已知的三个顶点，，. (1)求边AB上的中线所在直线的一般式方程； (2)求边AB上的高所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出边AB的中点，再由点斜式方程求直线方程即得； （2）利用两直线的垂直求得边AB上的高线的斜率写出直线方程，化成斜截式方程即得. 【详解】（1）设是边AB的中点，则即得， 边AB上的中线CD的斜率为故其方程为,即得 ， 故边AB上的中线所在直线的一般式方程为； （2），，，边AB上的高所在直线的斜率， 边AB上的高所在直线的方程为,其斜截式方程. 24．将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，由两直线的斜率之积为（两直线的斜率均存在时）可求的斜率，且过，由直线的点斜式可得的方程． 【详解】直线的方程为，其斜率为， 设直线的斜率为，， ． 由题意可知，，， 的方程为：，即． 故选：B 第 2 页 共 9 页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$