考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性 【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】 【分析】 转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解. 【2022年新高考全国II卷】已知函数的定义域为R，且，则（       ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为． 因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以． 故选：A． 1.奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧 3.函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 4.对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 1.(1)如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有. (2)如果函数是偶函数，那么. 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 3.函数周期性常用结论 对定义域内任一自变量的值: (1)若，则. (2)若，则. (3)若，则. 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称. (2)若对于上的任意都有或，则的图象关于直线对称. (3)若函数是奇函数，则函数的图象关于点中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质 （1）两个奇函数的和仍为奇函数； （2）两个偶函数的和仍为偶函数； （3）两个奇函数的积是偶函数； （4）两个偶函数的积是偶函数； （5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。 1．函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 2．函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 3.函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 1．（2022·全国·模拟预测（理））若幂函数满足，则下列关于函数的说法正确的是（