1.1.4 分式 (培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接

第1.1章 数与式 1.1.4 分式 初中要求 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。 高中要求 1 理解比例的合(分)比性质和等比性质； 2 掌握分式的齐次化变形. 1.分式的概念 一般地，如果不等于零)表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式. 2.分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是 (其中是的整式). 3.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”，其一般解题步骤：①去分母；②求解所得整式方程；③验根. 【题型一】 比例的性质 合(分)比性质：如果，那么，，. 等比性质：如果，那么. (自行尝试下证明) Eg 已知，求的值. 解 由等比性质得. 【典题1】 已知均为非零常数，且满足，求的值. 解析 若，则，所以； 若，则由等比性质可得； 综上可得或. 点拨 要注意不要漏. 变式练习 1.已知，求的值. 答案 解析 . 2.已知，求的值. 答案 解析 ，，，. 3.已知实数满足，求的值. 答案 或 解析 由已知有， 若，即时， ， ； 若，则， 解得， 这说明确实存在实数，使得； 综上或. 【题型二】 分式的变形 情况1 齐次化分式 形如为常数)的分式的分子、分母均为一次齐次式，我们称之为一次齐次化分式，如， 形如，其中为常数，这样的分式的分子、分母均为二次齐次式，我们称之为二次齐次化分式，如，. 对于齐次分式，我们可以怎么处理呢？ 【例1】已知，求. 解 ，即. 【例2】已知，求. 解 ， 解方程得或，即或. 【典题1】 已知正数满足，求和的值. 解析 由已知有，解得， ，. 【典题2】已知正数满足，且，求的取值范围. 解析 ，， ，，整理得，. 由，有，从而， ，， ，. 点拨 其实隐含了的取值范围. 变式练习 1.已知正数满足，求的值. 答案 解析 由已知有，解得， . 2.已知正数满足，且，求的值. 答案 解析 ，两边同时除以得， 设得，解得或(舍去)， ，两边同时除以得， . 情况2 作差法比较大小 【典题1】已知，证明. 证明 ， ， ， ， . 点拨 比较两个数或式子的大小，作差法是常用的方法. 变式练习 1.已知，证明. 证明 ， ， ，即. 2.已知，证明. 证明 ， ， ， . 情况3 分子的降次处理 我们遇到类似的分式，常常要把它化为的形式，其中为常数. 这方法称之为分离常数法. Eg ，转化后分子为常数.又如情况中的典例中这样处理会解题过程简便些. 【典题1】 若是整数，则点叫整点.若，则有多少个整点? 解析 ，(在分子上“凑”出分母，达到分离常数的效果) 若要是整数，则也是整数，又因为是整数，所以是的约数， 所以或， 所以满足的点有，，，，共个. 【典题2】把化为的形式. 解析 方法1 令，则， . 方法2 利用多项式除以多项式的竖式 . 点拨 方法用的是换元法，避免分子“凑”分母的苦恼；方法好像多位数除以多位数 一样. 变式练习 1.把化为的形式. 答案 解析 . 2.把化为的形式. 答案 解析 令，则， . 3.把化为的形式. 答案 解析 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1.1章 数与式 1.1.4 分式 初中要求 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。 高中要求 1 理解比例的合(分)比性质和等比性质； 2 掌握分式的齐次化变形. 1.分式的概念 一般地，如果不等于零)表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式. 2.分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是 (其中是的整式). 3.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”，其一般解题步骤：①去分母；②求解所得整式方程；③验根. 【题型一】 比例的性质 合(分)比性质：如果，那么，，. 等比性质：如果，那么. (自行尝试下证明) Eg 已知，求的值. 解 由等比性质得. 【典题1】 已知均为非零常数，且满足，求的值. 变式练习 1.已知，求的值. 2.已知，求的值. 3.已知实数满足，求的值. 【题型二】 分式的变形 情况1 齐次化分式 形如为常数)的分式的分子、分母均为一次齐次式，我们称之为一次齐次化分式，如， 形