1.2.3 一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系 (培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接

第1.2章 函数、方程、不等式 1.2.3 一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系 初中要求 会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解. 高中要求 1 理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系; 2 会求解一元二次不等式与分式不等式. 1.函数与方程的关系 (1)函数零点的概念 对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点. (2)方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 如 方程的实数根是，函数与轴的交点横坐标是， 函数的零点是，而不是. 2.一元二次不等式及其解法 (1) 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 函数、方程、不等式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 (2) 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； (3) 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 【例】先依次回答以下问题，再求解不等式. ① 方程的解是什么？ ② 画出函数的图象，其零点是多少？ ③ 观察图象，当取什么值时，？ ④ 不等式的解集是什么？ 解 ① 方程，方程的解是或； ② 函数的图象如下图，其零点是和； ③ 由上图可知，当时，； ④ 不等式的解集是 3.一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 【例1】解且. ② ，且. 【例2】解且. (2) 一元高次不等式的解法 ① 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. 【题型一】解一元二次不等式 【典题1】 解以下一元二次不等式 (1) (2) (3) (4) 解析 (1)的解是或； 函数的图象如下， 不等式的解集是. (2)的解是或； 函数的图象如下， 不等式的解集是或. (3) 的判别式，故方程无解； 函数的图象如下， 不等式的解集是全体实数. (4)的判别式，故方程无解； 函数的图象如下， 不等式的解集是. 变式练习 1.解以下一元二次不等式 (1) (2) (3) (4) 答案 (1)； (2)或； (3) ；(4). 2.若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 . 答案 解析 当时，满足题意；当时，，解得； 综上，实数k的取值范围是. 3.不等式的解集是，则的值为 . 答案 解析 由不等式的解集是， 得和是方程的解， 由根与系数的关系知，，解得，； 所以． 【题型二】解分式不等式 【典题1】解关于的不等式：. 解析 ； 等价变形为：且； 解得. 点拨 注意求解过程中需要等价转化，本题不要漏了. 变式练习 1.解关于的不等式. 答案 解析 等价转化为：，解得. 2.解关于的不等式. 答案 或 解析 或. 【题型三】解一元高次不等式 【典题1】 解不等式 (1) ； (2) 解析 (1) ① 确定每个的系数都是正数； ② 将方程的根画在数轴上，并从右上角开始“引线穿过”每个根，如下图所示， ③ 不等式的解集是或. (2) 不等式等价于， 穿针引线求解得，不等式的解集是. 【典题2】解不等式. 解析 不等式移项得 通分得 因式分解得 ， 其不等式等价于且， 其零点分别是，画出数轴如下， 由图可知，原不等式的解集为. 点拨 在利用穿针引线求解高次不等式时，先要确定每个的系数都是正数，若遇到重根，则是“奇穿偶切”. 变式练习 1.解不等式： 答案 或 2.解不等式：. 答案 或. 解析 且 且， 原不等式的解集为或. 【题型四】解含参不等式 【典题1】 解关于的不等式 解析 原不等式可以化为： 若即 则或 若即则 若即则 综上：时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 变式练习 1.解关于的不等式. 答案 当或时，不等式解集为； 当或时，不等式的解集为； 当或时， 不等式解集为． 解析 原不等式可化为： ，令 ，可得：