1.2.2 二次方程(组) (培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接

第1.2章 函数、方程、不等式 1.2.2 二次方程(组) 初中要求 1 掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组; 2理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程; 3了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）。 高中要求 1 会用韦达定理求解简单的方程根的变式； 2 会构造一元二次方程解决一些实际问题； 3 掌握求解二次方程组的方法. 1.一元二次方程的判别式 一元二次方程可用配方法变形成，该方程根的情况由判别式来判定. (1)方程有两个不相等的实数根: ； (2)方程有两个相等的实数根: ； (3)方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个根为，那么； . 由此得出，一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程 的两个根是，那么，. 这个结论称为韦达定理. 【题型一】 韦达定理的应用 【典题1】 若是方程的两根，不解方程，求下列各式的值. (1) ； (2) ； (3) ()； (4) (). 解析 由韦达定理可得，， (1)； (2)； (3)设，则，代入，，得， ，解得； (4)，， ，， . 点拨 1.第问是关于的对称式求值，利用韦达定理便可，此时灵活运用完全平方公式之间的关系； 2.第问是关于的非对称式求值，这在高二圆锥曲线中会遇到相关问题. 【典题2】已知是关于的方程的一个根，求方程的另一根及的值. 解析 设另一根为，则，解得，. 点拨 利用方程的解也可以求出，但不如韦达定理求解简便. 【典题3】已知是一元二次方程的两个实数根， (1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求使的值为整数的实数的整数值. 解析 (1) 假设存在实数，使得成立， 一元二次方程的两个实数根， ，(不要忽略判别式的要求) 由韦达定理得， ， 但， 不存在实数，使得成立. (2) ， 要使其值是整数，只需要能被整除， 故，即， ，. 点拨 利用韦达定理的前提是判别式. 变式练习 1. 已知是方程的二实根，则_____________. 答案 解析 由， . 2.关于的二次方程两个不等的实数，其中一个是 (1)求另一个根；(2)写出关于的表达式，并求的取值范围. 答案 (1) (2) 或 解析 (1)设另一根为，由韦达定理得，解得，即另一个根是； (2) ， ，且 ， 当时，； 当时，； 或. 3.已知中，两直角边长为方程的两根，且斜边长为，求的值. 答案 解析 不妨设斜边为，两条直角边为，则. 又为方程两根. ， 但为实数且， ， ， 或， 当时，， . 4.已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，且，求的值． 答案 (1) 略 (2) 解析 (1) 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)由根与系数的关系得出， 由得， 解得． 【题型二】构造一元二次方程 【典题1】若为实数，且， ，求的值. 解析 (1)当时，； (2)当时，由已知及根的定义可知，分别是方程的两根， 由韦达定理得，， . 点拨 1.若实数满足， ，且，则是方程的两个实数根； 2.本题不要漏了的这种情况. 变式练习 1.若且，试求代数式的值. 答案 解析 因为，由根的定义知为方程的二不等实根， 再由韦达定理，得， . 2.若是正整数，并且，则 .. 答案 解析 ， 是方程的两个根， 该方程的根为，， 或， 又是正整数，， . 【题型三】 二元二次方程组及其解法 【典题1】 解下列方程组 (1) (2) (3) 解析 (1) 由得， 代入消得，解得或； 当时，；当时，； 故方程组的解是或. (2) 方法1 由得， 代入消得，解得或； 当时，；当时，； 故方程组的解是或. 方法2 由解得或， (相当于换元法令) 又，或， 故方程组的解是或. (3)设，，则方程组转化为，解得， 则，故方程组的解是. 点拨 1.求解二元二次方程组，消元、降幂是基本的思路； 2.观察方程，适合使用换元法也可起到简便运算的效果. 【典题2】解方程组. 解析 是方程的两个实数根， 解方程得或，故方程组的解是或. 点拨 本题也可以用消元法，但用上韦达定理构造方程更简便，要注意方程组的结构. 【典题3】当为何值时，关于的方程组有两个解. 解析 把代入，消去得， 由于方程组有两个解，则方程也有两个解， ，解得. 点拨 这是高二圆锥曲线联立方程中求参数范围. 变式练习 1.解方程组. 答案 或 解析 由得，代入得，解得或，