1.2.1 函数最值(培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接

第1.2章 函数、方程、不等式 1.2.1 函数最值 初中要求 1 掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象及其性质； 2 会用一次函数、反比例函数、二次函数解决简单实际问题. 高中要求 1 理解函数的最值； 2会利用数形结合的方法求解函数最值. 1.一次函数、反比例函数、二次函数图象的图象与性质 (1)一次函数的图象与性质 图象 性质 随的增大而增大 随的增大而减小 (是函数与轴交点的纵坐标) (2)反比例函数的图象与性质 图象 性质 在每个象限，随的增大而增小 在每个象限，随的增大而减大 (3)二次函数的图象与性质 函数 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增小； 当时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增小. 最值 当时，有最小值， 且. 当时，有最大值， 且. 2.函数图象的变换 函数图象的变换：左加右减，上加下减. 【例】 的图象向左平移个单位，向上平移个单位，得到新函数的解析式是 . 解 的图象向左平移个单位得到；再向上平移个单位得到. 3.函数的最值 函数的图象，有上升的部分也有下降的，象过山车一样，图象上升时称函数递增的，图象下降时称函数递减的. 如下图，当或时，函数递增；当时，函数递减. 那函数图象最高点与最低点对应的纵坐标分别是函数的最大值与最小值. 4.恒成立与能成立问题 对于函数， (1)对于任意实数，恒成立； 恒成立. (2)存在实数，成立； 成立. 【例1】对于任意实数，恒成立，那的取值范围是 . 解 ，即的最小值是，. 【例2】存在实数，成立，那的取值范围是 . 解 的最大值是，. 【题型一】 函数图象的变换 【典题1】 指出下列函数图象的变换过程. 从平移到①；②；③ 解析 ① 向左平移个单位； ② 向下平移个单位； ③ ， 向右平移个单位向上平移个单位. 点拨 平移变换：左加右减、上加下减；其中“左加右减”是对进行加减，比如函数右移个单位，得到的解析式不是，而是，这个括号不能丢. 变式练习 1.指出下列函数图象的变换过程. (1)从到①；②；③ (2)从 . 答案 (1)①向下平移个单位；②向左平移个单位；③向右平移个单位再向上平移个单位. (2)①向左平移个单位；②向下平移个单位；③向右平移个单位再向上平移个单位. 【题型二】函数最值 【典题1】 作出函数的图象，并根据图象说出函数的如下性质： (1)图象的对称中心、渐近线、增减性； (2)当时，求的最大值和最小值. 解析 (1) ， 所以的图象可以看成由函数向左平移个单位，再向上平移个单位得到，如下图一， 则函数图象的对称中心是，渐近线是和， 增减性是当时函数递增，当时函数递减； (2)当时，； 当时，； 由图二可知，函数在上递增，最大值是，最小值是. 图一 图二 点拨 的分式型函数常常能够通过分离常数法转化为，从而确定看出其图象是由反比例函数平移变换而来的. 【典题2】 求函数在下列自变量取值范围内的最大值和最小值. (1) (2) (3) 解析 ，其对称轴是， (1)如图一，函数在上递增，当时取到最大值，当时取到最小值； (2)如图二，函数在上递减，当时取到最大值，当时取到最小值； (3)如图三，函数在上递减，而在上递增， 当时取到最大值，当时取到最小值； 图一 图二 图三 点拨 本题通过数形结合的方法求解二次函数的最值，注意的取值范围对的取值的影响. 【典题3】求在上的最大值和最小值． 解析 ，对称轴为． ①当时，由图①可知， ，． ②当时，由图②可知， ， ③当时，由图③可知， ，． ④当时，由图④可知， ，． 综上所述， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 点拨 本题属于“二次函数的闭区间最值问题”.本题是动轴定区间，主要对对称轴相对区间的位置分“左中右”三种情况进行分类讨论. 变式练习 1.求在上的最值. 答案 最大值，无最小值 解析 ，它的图像可以看成由函数向右移个单位， 再向上移个单位得到的. 由图易得在上递增，当时取到最大值，无最小值. 2.已知函数． (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)求在上的最小值； (3)在区间上的最大值为，求实数的值． 答案 (1) 最大值是，最小值是； (2) 当时，最小值；当时，取到最小值； 当时，取到最小值. (3) 或 解析 (1)时，； 在上的最大值是，最小值是； (2)的对称轴是， ①当，即时，函数在上递增， 当时，取到最小值； ②当，即时，函数在上先递减后递增