1.1.5 二次根式 (培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接

第1.1章 数与式 1.1.5 二次根式 初中要求 1 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根; 2 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用计算器求平方根; 3 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。 高中要求 1 二次根式的简单四则运算； 2 理解共轭二次根式； 3 会求解含二次根式的方程与不等式. 1.二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式. 二次根式必须满足：①含有二次根号“”；②被开方数必须大于等于. 【例】有意义，则的取值范围是 . 解 ，解得. 2.最简二次根式 若二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，如，是最简二次根式；不是最简二次根式. 3.二次根式的性质 性质 例子 若则 . ， . ， . ， . 【题型一】 二次根式的运算 【典题1】 化简 解析 ； (2) . 点拨 1.化简二次根式，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； 2.在化简过程中，要灵活运用二次根式的运算公式.有时根据需要，可把根号外的数或式放进根号里，如是否正确呢？ 【典题2】化简 解析 ， ， ， 即. . 点拨 1.观察根号内式子结构，确定是否能凑成一个数或式子的平方； 2.遇到形如的双重根式，注意对的“拆解”，再试图配方成一个数的平方. 变式练习 1.已知，化简下列根式： 答案 解析 ； ； . 2. 若，则的取值范围是________. 答案 解析 依题意得，解得. 3.化简 (1) ； (2； (3． 答案 解析 ， . ； . 4.先观察下列等式，再回答问题 ①； ②； ③. (1)根据上面三个等式，请猜想的结果(直接写出结论) (2)根据上面各等式反映的规律，试写出含为正整数)表示一般规律的等式，并加以验证； (3)根据上述的规律，解答问题： 设， 求不超过的最大整数. 答案 解析 观察可得，； ， ； ， 不超过的最大整数是. 【题型二】比较大小 【典题1】 试比较下列各组数的大小： 和； 和. 解析 ，而， 若要比较和比较和即和， 显然，故. 方法 共轭根式法 ， ， 又， ． 方法2 分析法 比较和 只需比较和， 只需比较和， 只需比较和， 易得，故. 点拨 1.与为共轭根式，其积为不含根号的数或式子，其和或平方和形式都有“特色”.若，，则，，； 2.比较两数或式子大小常见的方法是作差法；本题中根据根式的特点，有共轭根式法和分析法.其中分析法，思考形式是“若要证明，只需要证明”. 变式练习 1.试比较下列各数大小 与 与 答案 (1) (2) 解析 ， ， . ， ， ， . 2.比较大小 答案 解析 当时，， ， 即； 当时，， ， 即； 综上所得. 【题型三】含根号的方程与不等式 【典题1】 解方程. 解析 移项得， 两边平方得， 解得， 把代入原方程检验得是方程的增根，是原方程的根， 故原方程的根是. 点拨 含根式的方程，两边平方容易产生增根，故注意检验. 【典题2】解不等式. 解析 原不等式等价于或， 解得或. 点拨 含根式的不等式等价于或. 变式练习 1.解方程. 答案 解析 方程两边平方得，解得， 把代入原方程检验得是方程的增根，是原方程的根， 故原方程的根是. 2.解不等式. 答案 无解 解析 不等式等价于，化简得，该不等式无解. 3.解方程. 答案 解析 方程等价于， 两边平方得，化简得，解得， 代回方程检验可得是方程的根，故方程的根式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1.1章 数与式 1.1.5 二次根式 初中要求 1 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根; 2 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用计算器求平方根; 3 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。 高中要求 1 二次根式的简单四则运算； 2 理解共