高考数学一轮复习专题6《不等式》第3讲 基本不等式

腾飞教育 中高考个性化辅导中心 第3讲 基本不等式 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：基本不等式 如果a＞0，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立. 其中，叫做a，b的算术平均数；叫做a，b的几何平均数，此式也称“均值不等式”. 注意：理解基本不等式要把握住两点：⑴基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. ⑵等号成立的条件：a＝b. 【拓展公式】：≥ 知识点二：几个重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab ⇒ ≥ab（公式逆用） （2）≥ ⇒ ()2≥ab（公式逆用） 补充：≥()2≥ab （3）a＋≥2 （4）＋≥2 知识点三：基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）“和定积最大”：若x＋y＝s（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值. （2）“积定和最小”：若xy＝p（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 注意：(1)利用基本不等式求最值时要注意：①不等式中涉及的数或式均为正； ②和或积为定值； ③等号能否成立. 即要满足“一正、二定、三相等”的条件. (2)需要灵活运用变形公式及通过对原代数式的拆分来创造利用公式的条件. Ⅱ 解 题 模 板 题型一：判断正误问题 例1：下列结论中正确的有： . ①当x＞0且x≠1时，lg x＋≥2； ②当x＞0时，＋≥2； ③当x≥2时，x＋的最小值为2； ④当x＞0时，sin x＋的最小值为2 例2：下列不等式中正确的有： . ①x＋≥2； ②|x＋|≥2； ③若0＜a＜1＜b，则loga b＋logb a≤－2； ④若0＜a＜1＜b，则loga b＋logb a≥2 例3：已知x＞0且y＞0，则下列不等式中正确的有： . ①x＋＋≥2；②(x＋)(y＋)≥4；③(x＋y)(＋)≥4；④()2≤ 题型二：比较大小问题 例1：已知0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，试对a＋b，a2＋b2，2，2ab进行比较大小并排序. 例2：已知a＞0，b＞0，试对，，，进行比较大小并排序. 规律总结：此类对式子进行比较大小问题，除利用性质的常规解法外，可用“赋值法”更加便捷. 题型三：求函数值域问题 例1：求函数f(x)＝x2＋的值域. 例2：（1）求函数f(x)＝ (x＞0)的值域. （2）求函数f(x)＝ (x＞2)的值域. 例3：（1）求函数f(x)＝ (x＞0)的值域. （2）求函数f(x)＝x＋＋ (x＞0)的值域. 题型四：证明不等式问题 例1：已知a＞0，b＞0，c＞0，求证： (1) (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc； (2) ＋＋≥6； (3) ＋＋≥a＋b＋c. 例2：已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1) ab＋bc＋ca≤； (2) ＋＋≥1. 例3：已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证： (1) a2＋b2≥； (2) ＋≥8； (3) (a＋)2＋(b＋)2≥； (4) (a＋)(b＋)≥. 例4：已知a∈R，b∈R，c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c). 题型五：求最值问题 例1：（1）已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求＋的最小值. （2）已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求＋的最小值. （3）已知x＞0，y＞0，且x＋y＝4，求＋的最小值. （4）已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋2y的最小值. 例2：（1）已知a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，求ab的最大值. （2）已知a＞0，b＞0，且a＋b－3ab＋5＝0. (1)求ab的取值范围； (2)求a＋b的取值范围. 例3：已知x＞0，y＞0，且x＋y＋＋＝10，求x＋y的最大值. 例4：已知0＜x＜，求x(1－3x)的最大值及取得最大值时x的值． 例5：已知a＞0，b＞0，求＋＋2的最小值. 更多学习资料可关注微信公众号： 地址：兴平市初级中学对面 电话：18691979624 QQ：1246247423 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $