高考数学一轮复习专题5《数列》第3讲 等比数列

腾飞教育 中高考个性化辅导中心 第3讲 等比数列 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：等比数列的概念 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为0)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用字母q表示. 即：＝q (q为非零常数) 注意：①对于公比q，强调的是每一项与它前一项的比，防止顺序颠倒. ②等比数列中各项不能为0，a1和q均不能为0. ③对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xm，…； 连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xm，xm3，…. 这样即可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便． 知识点二：等比数列的通项公式 通项公式：an＝a1∙qn－1 拓展通项公式：an＝am∙qn－m 注意：⑴公式的推导方法——“叠乘法”： 由等比数列的定义可知：＝q ① ＝q ② …… ＝q (n－1) 上式全部相乘，可得＝qn－1，即an＝a1∙qn－1. ⑵与函数关联——“类指数函数”： 从函数角度来看等比数列的通项公式：an＝a1∙qn－1＝∙qn. 可知当q＞0且q≠1时，an是关于n的类指数式. 因此，有关等比数列的性质可用指数函数的性质来研究. 知识点三：等比数列的判定 （1）定义法：＝q (q为非零常数) {an}是等比数列 （2）中项法：an－1∙an＋1＝a (n≥2，n∈N*) {an}是等比数列 （3）函数法：an＝k∙qn (k，q为非零常数) {an}是等比数列 （4）前n项和公式法：Sn＝k∙qn－k (k，q为非零常数) {an}是等比数列 知识点四：等比数列的性质 1.单调性：①或 递增数列； ②或 递减数列； ③ q＝1 常数列. 2.对偶性：若m＋n＝p＋q，则am∙an＝ap∙aq. 3.等比中项：若a，b，c成等比数列，则b叫做a与c的等比中项，满足关系a∙c＝b2. 4.等距间隔性质：若{an}是等比数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，… (k，m∈N*) 组成公比为dm的等比数列． 知识点五：等比数列的前n项和 等比数列的前n项和公式：Sn＝ 注意：⑴公式的推导方法——“错位相减法”： 设Sn是等比数列{an}的前n项和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， 据等比数列{an}的通项公式，可得Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1 ① 给①式的两边同乘q，可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn ② 用①式减去②式，可得(1－q)Sn＝a1(1－qn) 由此可知，当q≠1时，Sn＝；当q＝1时，由①式可得Sn＝na1. ⑵与函数关联——“指数式+常数”： 从函数角度来看等比数列的前n项和公式：Sn＝＝∙qn＋. 可知当q≠1时，Sn的式子是由一个指数式和一个常数构成，且指数式的系数与常数项互为相反数. 因此，有关等比数列前n项和的性质可用指数函数的性质来研究. 知识点六：等比数列前n项和的性质 1.等距连续性质 若{an}是等比数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和， 则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列． 2.奇偶项和性质 （1）若数列项数为偶数：（即项数为2n） ①＝q. （2）若数列项数为奇数：（即项数为2n－1） ①＝. Ⅱ 解 题 模 板 题型一：等比数列的概念理解 例1：已知三个数成等比数列，它们的和等于21，它们的积等于64，求这三个数.（设元的技巧） 例2：等比数列x，3x＋3，6x＋6，… 的第4项的值为多少？ 题型二：等比数列的通项公式 例1：在等比数列{an}中，已知a3＝12，a4＝18，求an.（两种思路解题） 例2：已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，求a3＋a5＋a7的值. 例3：已知等比数列{an}满足a3＝2，a4a6＝16，求的值. 题型三：等比数列的判定 例1：已知数列{bn}是等差数列，且a＞0，求证：数列{abn}是等比数列. 例2：已知数列{an}满足an＋1＝，n∈N*，令bn＝an＋1－an，求证：{bn}是等比数列. 题型四：等比数列的性质 例1：在等比数列{an}中， (1)已知a1＝5，a9a10＝100，求a18的值. (2)已知a3a4a8＝8，求a1a2a3…a9的值. (3)已知a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，且an＞0，求a3＋a5的值. (4)已知a5a6＋a4a7＝18，且an＞0，求log3 a1＋log3 a2＋…＋log3 a10的值. (5)已知a3a11＝16，且an＞0，公比q＝2，求log2 a10的值.[ 例2：已知数列{an}为等比数列，若a1＋a