高考数学一轮复习专题5《数列》第2讲 等差数列

腾飞教育 中高考个性化辅导中心 第2讲 等差数列 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：等差数列的概念 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差 数列.这个常数叫做等差数列的公差，用字母d表示. 即：an＋1－an＝d (d为常数) 注意：①对于公差d，强调的是每一项与它前一项的差，防止顺序颠倒. ②等差数列中各项可以为0，a1和d可以为0. ③对称设元法：一般地，连续奇数个项成等差数列，可设为…，x－m，x，x＋m，…； 连续偶数个项成等差数列，可设为…，x－2m，x－m，x＋m，x＋2m，…. 这样即可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便． 知识点二：等差数列的通项公式 通项公式：an＝a1＋(n－1)d 拓展通项公式：an＝am＋(n－m)d 注意：⑴公式的推导方法——“叠加法”： 由等差数列的定义可知：a2－a1＝d ① a3－a2＝d ② …… an－an－1＝d (n－1) 上式全部相加，可得an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d. ⑵与函数关联——“一次函数”： 从函数角度来看等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝d∙n＋a1－d. 可知当d≠0时，an是关于n的一次式. 因此，有关等差数列的性质可用一次函数的性质来研究. 知识点三：等差数列的判定 （1）定义法：an＋1－an＝d (d为常数) {an}是等差数列 （2）中项法：an－1＋an＋1＝2an (n≥2，n∈N*) {an}是等差数列 （3）函数法：an＝kn＋b (k，b为常数) {an}是等差数列 （4）前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn (A，B为常数) {an}是等差数列 知识点四：等差数列的性质 1.单调性：①d＞0 递增数列； ②d＜0 递减数列； ③d＝0 常数列. 2.对偶性：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. 3.等差中项：若a，b，c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，满足关系a＋c＝2b. 4.等距间隔性质：若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，… (k，m∈N*) 组成公差为md的等差数列． 知识点五：等差数列的前n项和 等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. 注意：⑴公式的推导方法——“倒序相加法”： 设Sn是等差数列{an}的前n项和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， 根据等差数列{an}的通项公式，可得Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d] ① 再把数列{an}各项次序反过来，可得Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d] ② 将①式和②式相加，可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝. ⑵与函数关联——“二次函数”： 从函数角度来看等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n. 可知当d≠0时，Sn是关于n的二次式. 因此，有关等差数列前n项和的性质可用二次函数的性质来研究. 知识点六：等差数列前n项和的性质 1.等距连续性质 若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和， 则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． 2.奇偶项和性质 （1）若数列项数为偶数：（即项数为2n，an、an＋1为中间两项） ①S奇＋S偶＝S2n＝n(an＋an＋1)； ②S偶－S奇＝nd； ③＝. （2）若数列项数为奇数：（即项数为2n－1，an为中间一项） ①S奇＋S偶＝S2n－1＝(2n－1)an； ②S奇－S偶＝an； ③＝. 3.an与Sn相互关系性质 两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系：＝. 知识点七：等差数列前n项和的最值问题 1.Sn最值的判定 ①若d＜0，则Sn有最大值； ②若d＞0，则Sn有最小值. 2.Sn最值的求法 （1）函数法：等差数列的前n项和公式为Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n， 即Sn＝An2＋Bn形式，可利用二次函数的性质研究Sn的最值问题． （2）正负分界法：①若满足，则Sk取最大值； ②若满足，则Sk取最小值. (即“正变负处最大，负变正处最小”) Ⅱ 解 题 模 板 题型一：等差数列的概念理解 例1：已知三个数成等差数列，它们的和等于9，它们的积等于15，求这三个数.（设元的技巧） 例2：已知成等差数列的四个数之和为26，且第二个数与第三个数的积为40，求这四个数.（设元的技巧） 题型二：等差数列的通项公式 例1：在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求an.（两种思路解题） 例2：已知{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若an＝2005，求n的值. 题型三：