高考数学一轮复习专题4《平面向量》第3讲 平面向量的数量积

腾飞教育 中高考个性化辅导中心 第3讲 平面向量的数量积 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：向量的数量积 1.向量的夹角 定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a和b的夹角， 记作＜a，b＞. 注意：①向量夹角的范围:[0°，180°]. ②当θ＝0°时，两向量同向；当θ＝180°时，两向量反向；当θ＝90°时，两向量垂直. ③由于0的方向不确定，且有“0与任意向量平行”的规定，故认为0与相应向量的夹角是0°或180°. ④在确定向量向量a和b的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点. 如：＜，＞＝∠A，但是＜，＞≠∠B，而应该是＜，＞＝π－∠B. 2.向量数量积的定义 定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积. 记作：a∙b＝|a||b|cos θ 注意：①向量的数量积是一个数量，而不是向量. ②向量的数量积的符号由夹角θ来确定. 3.向量数量积的几何意义 （1）投影的定义：设θ是向量a和b的夹角，则|b|cos θ叫做向量b在向量a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在向量b方向上的投影. （2）a∙b的几何意义：数量积a∙b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|的乘积. 注意：①投影是一个数量，而不是向量. ②投影的符号由夹角θ来确定:当θ为锐角时，是正值；当θ为钝角时，是负值；当θ为直角时，是0； 当θ为0°时，是|b|；当θ为180°时，是－|b|. 知识点二：向量数量积的运算律 1.交换律：a∙b＝b∙a 2.数乘结合律：(λa)∙b＝λ(a∙b)＝a∙(λb) 3.分配律：(a＋b)∙c＝a∙c＋b∙c 注意：向量的数量积是向量的乘法，要区别于实数的乘法： 实数的乘法运算 向量的乘法运算 ①积为零 若a∙b＝0， 则a，b中至少有一个为0. 若a∙b＝0， 则a，b中可能有一个为0， 也可能是a⊥b. ②绝对值关系 |a∙b|＝|a|∙|b| |a∙b|≤|a|∙|b| ③消去律 a∙c＝b∙c可以推出a＝b a∙c＝b∙c则不能推出a＝b ④乘法结合律 (a∙b)∙c＝a∙(b∙c) (a∙b)∙c≠a∙(b∙c) 知识点三：向量数量积的坐标表示 1.定义：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∙b＝x1x2＋y1y2 2.相关公式：（1）向量模公式：|a|＝ （2）向量垂直公式：a⊥bx1x2＋y1y2＝0 （3）夹角公式：cos θ＝ Ⅱ 解 题 模 板 题型一：向量数量积的基本运算 例1：已知|a|＝4，|b|＝3，当a与b满足下列条件时，分别求a与b的数量积： (1) a∥b； (2) a⊥b； (3) a与b的夹角为60°. 例2：已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求下列各式的值： (1) ab； (2) a2－b2； (3) (2a－b)(a＋3b)； (4) |a＋b|. 例3：已知a＝(2，1)，b＝(－1，3)，求下列各式的值： (1) ab； (2) a(a－b)； (3) |a＋2b|. 例4：设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，求ab的值. 例5：已知a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，求(a－b)·c的取值范围. 题型二：向量数量积的几何意义问题 例1：已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D是BC的中点，求： (1)向量在的方向上的投影； (2)向量在的方向上的投影． 例2：已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，求向量在方向上的射影． 例3：已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，求a＋b在a方向上的射影． 例4：设a·b＝4，若a在b方向上的射影的数量为2，且b在a方向上的射影的数量为1，求a与b的夹角． 题型三：向量的夹角问题 例1：已知平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b (m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，求m的值. 例2：已知a与b均为单位向量，其夹角为θ. (1)若|a＋b|＞1，试求出θ的取值范围； (2)若|a－b|＞1，试求出θ的取值范围. 例3：已知平面向量a与b的夹角等于，且|a|＝2，|b|＝3，求向量2a－b与a＋2b的夹角的余弦值. 例4：已知两向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，且e1，e2所成的角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2所成的 角为钝角，求实数t的取值范围． 例5：已知向量a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． 规律总结：求向量的夹角问题的方法： ⑴坐标法：当a与b是坐标形式给出时，可用公式cosθ＝