高考数学一轮复习专题4《平面向量》第2讲 平面向量的基本定理及坐标运算

腾飞教育 中高考个性化辅导中心 第2讲 平面向量基本定理及坐标运算 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：平面向量基本定理 如果向量e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 注意：平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算． 知识点二：向量的坐标运算 1.向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的任一向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.这样，a可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的 坐标，记作a＝(x，y). 2.向量坐标与点坐标的关系 一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标. 即：A(x1，y1)，B(x2，y2)＝(x2－x1，y2－y1)． 注意：①向量a与它的坐标(x，y)是一一对应的，具有唯一性； ②向量中有向线段的始点、终点只有相对关系，无绝对关系； ③向量的坐标表示实质是向量的代数表示，综合理解数形结合. 3.相等向量的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：a＝bx1＝x2且y1＝y2 4.向量的坐标运算 加法运算 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法运算 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘运算 a＝(x，y)λa＝(λx，λy) 知识点三：向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：a∥bx1y2－x2y1＝0 注意：①不能表示成＝，因x2，y2有可能为0； ②不能错记成x1y1－x2y2＝0； ③线性关系与坐标关系没有本质差异，只是形式不同. Ⅱ 解 题 模 板 题型一：平面向量基本定理的应用 例1：下列向量中，能作为表示它们所在平面所有向量的基底的是（ ） A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(1，－2)，e2＝(5，7) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝(－8，12) 例2：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点.设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，. 例3：如图，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，求λ＋μ的值. 例4：如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量. 例5：在平行四边形ABCD中，＝，＋2＝0，设＝a，＝b. (1)若＝λ＋μ，求λ＋μ的值； (2)若AF与DE交于点G，试用a，b表示. 例6：已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，. 规律总结：⑴基底的选取条件为两个：一是非零向量，二是不共线向量，同时满足此两条件即可. ⑵应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、 减法或数乘运算，基本方法有： ①运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止. ②将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解. ③在直接表示难度较大时，可利用逆向思维，用所求向量表示已知向量，然后列出方程组求解. 题型二：向量的坐标运算 例1：已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N的坐标及向量的坐标． 例2：在△ABC中，D是BC边的中点，已知A(1，1)，＝(－1，－3)，＝(3，5)，求点C的坐标. 例3：已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，求－2a＋3b，4a－2b的坐标. 例4：已知a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，试用a，b表示出c. 例5：已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且＝＋t，试问：t为何值时， (1)P在x轴上？ (2)P在y轴上？ (3)P在第二象限？ 规律总结：⑴向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用. ⑵利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法 求出系数. 题型三：相等向量的坐标问题 例1：已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，求顶点D的坐标. 例2：已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2，1)，c＝(7，－