高考数学一轮复习专题4《平面向量》第1讲 平面向量的概念及线性运算

腾飞教育 中高考个性化辅导中心 专题4 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算 Ⅰ 考 点 解 读 知识点一：向量的概念 1.向量的概念： （1）向量：既有大小又有方向的量.（如位移、力、速度、加速度等） （2）向量的表示：字母表示和几何表示. （3）向量的模：向量的长度. 注意：①向量只能判断是否相等，不能比较大小. ②向量的模是长度，可以比较大小. ③在用有向线段表示向量时，注意区分起点和终点，不能颠倒. 2.零向量与单位向量 （1）零向量：长度为0，方向不定.（方向任意，不是没有方向） （2）单位向量：长度为1个单位，方向不定.（方向任意，不是没有方向） 3.平行向量与相等向量 （1）平行向量：方向相同或相反的非零向量.（零向量与任一向量平行） （2）相等向量：长度相等且方向相同. （3）相反向量：长度相等且方向相反. 注意：相等向量一定是共线向量；但共线向量不一定是相等向量. 知识点二：向量的线性运算 运算法则 记忆口诀 向量的加法 “首尾相连， 由首至尾” 向量的减法 “共起点，连终点， 指向被减向量” 向量的数乘 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 注意：当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 常用结论：（1）向量加法的三角形法则可推广到多个向量相加：＋＋＋…＋＋＝. （2）若向量a，b不共线，则a，b，a＋b，a－b可构成一个平行四边形的两邻边和两对角线. 知识点三：共线向量定理 若向量a(a≠0)与b共线，则当且仅当有唯一的实数λ，使得b＝λa. 常用结论：（1）a∥b(a≠0)b＝λa（λ唯一） （2）＝m＋n(m＋n＝1)＝λA，B，C三点共线 Ⅱ 解 题 模 板 题型一：向量概念的理解 例1：判断下列各量是否是向量： 质量、密度、位移、距离、浮力、风速、温度. 例2：判断下列语句的正误： (1)零向量是没有方向的； (2)已知a∥b，那么向量a，b的方向相同或相反； (3)相等的向量一定是平行向量； (4)0＝0； (5)若a，b为单位向量，则a＝b. 例3：如右图所示，D，E，F分别是三边中点. (1)与相等的向量有 ； (2)与共线的向量有 ； (3)与模相等的向量有 . 题型二：向量的线性运算 例1：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋＝λ，求λ的值． 例2：已知M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，若＋＋ ＋＝λ，求λ的值． 例3：设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝（ ） A. B. C. D. 例4：如图，D为△ABC所在平面内一点，且满足＝3，设＝a，＝b，试用向量a、b表示出. 例5：如图，在正六边形OABCDE中，＝a，＝b，试用向量a、b表示、、. 例6：如图，平行四边形OADB中，＝a，＝b，BM＝BC，CN＝CD，试用向量a，b表示，，. 例7：在三角形ABC中，已知O为重心，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)＋＋ (2)＋＋ (3)＋＋ 例8：计算下列各式： (1) 4(a＋b)－3(a－b)－8a (2) (5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c) 规律总结：向量线性运算的解题策略： ①进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或 首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解. ②要充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系. ③还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与 已知向量有直接关系的向量来求解. 题型三：向量线性关系的证明 例1：如图，已知三角形OAB中，M是线段AB的中点，求证：2＝＋. 例2：如图，已知四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：2＝＋. 例3：已知△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，求证： ＋＋＝0. 例4：如图，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC，求证：＋＝＋. 规律总结：在证明向量的线性关系时，要充分利用“相反向量之和为零向量”这一性质，以此为依据构造合 适的关系式，化简即可.而中点的关系是构造相反向量最常用的途径. 题型四：共线向量定理的应用 例1：已知＝e1－e2，＝2e1－8e2，＝3e1＋3e2，求证：A，B，D三点