考向06 函数及其表示（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向06函数及其表示 【2022·北京·高考真题】设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 【答案】     0（答案不唯一）     1 【解析】 【分析】 根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，   解得 . 【详解】 解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 【2022·浙江·高考真题】已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 【答案】          ## 【解析】 【分析】 结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【详解】 由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 1.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集. (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可. 2.函数解析式的常见求法 (1)配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换. (2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (3)换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出． 3.分段函数 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。 1.复合函数： 一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作，其中叫做复合函数的外层函数，叫做的内层函数. 2.抽象函数的定义域的求法： (1)若已知函数的定义域为，则复合函数的家义域由求出. (2)若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域. 1.函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 2.基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 3.基本初等函数的值域 (1)的值域是. (2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为． (3)的值域是. (4)且的值域是. (5)且的值域是. 4.分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用换元法求解函数解析式即可求解. 【详解】 因为，所以，令，则， 所以，因此，. 故选：B. 2．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数f(x)满足f（2x）＝x，则f（5）＝（       ） A．25 B．52 C．log52 D．log25 【答案】D 【解析】 【分析】 由求出后代入可得结论． 【详解】 ．∴，∴， 故选：D． 3．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知函数，则的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】