考向07 函数的单调性与最值（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向07 函数的单调性与最值 【2021·北京·高考真题】已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】 若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 【2020·山东·高考真题】已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（       ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【解析】 【分析】 利用函数单调性定义即可得到答案. 【详解】 对于任意两个不相等的实数，，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有. 所以函数一定是增函数. 故选：C 1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。 2.函数在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。 3.函数的单调定义中的、有三个特征：（1）任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。 4.求函数的单调区间必须先求定义域。 5.判断函数单调性常用以下几种方法： （1）定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号→得出结论. （2）图象法：如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性. （3）导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间. （4）性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及增减性质进行判断； 6.求函数最值（值域）的常用方法 （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. （4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 1.单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 1.函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 2．函数的最值 前提 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断出原函数的单调性，进而解出不等式即可. 【详解】 由题意，，易知函数在R上单调递减（减+减），而，所以. 故选：D. 2．（2022·吉林长春·模拟预测（理））对任意不相等的两个正实数，，满足的函数是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 结合函数运算、差比较法对选项进行分析