考向04 基本不等式及应用（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向04 基本不等式及应用 【2021·全国·高考真题】已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【解析】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【2022年新高考全国II卷】（多选题）若x，y满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 1.几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 1.基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 1．（2022·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】 根据题意得，再化简整理利用基本不等式求解即可. 【详解】 ，当且仅当， 即，时取得等号． 故答案为：. 2．（2022·福建龙岩·模拟预测）若正实数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】 利用基本不等式可得，以为整体求解． 【详解】 ∵，当且仅当时等号成立 即，则 ∴或（舍去），即 故答案为：1． 3．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知实数满足，则的最小值是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】 根据对数定义和运算可得，利用基本不等式代入整理计算． 【详解】 ∵，则可得 ∴ ∵当且仅当时等号成立 ∴ 故答案为：16． 4．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】 根据圆的性质，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】 因为直线过圆心，所以， 因为a、b为正实数， 所以，当且仅当时取等号，即时取等号， 故答案为：8 1．（2022·广东茂名·二模）已知 ，则 的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由可得，令，表示出a,b,再由，结合不等式知识，即可求得答案. 【详解】 由可得：,故 ， 令，则， 因为 ， 当且仅当，即或