考向02 充要条件、全称量词与存在量词-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向02充要条件、全称量词与存在量词 【2021·全国·高考真题（理）】等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（       ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】 由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【2020·山东·高考真题】已知，若集合，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】 当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 1．如何判断两个条件的充分必要关系 (1)定义法：若，则是的充分而不必要条件；若，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件；若，则是的既不充分也不必要条件. (2)充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件. 2．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件．必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 3．判定全称命题“，”是真命题，需要对集合中的每一个元素，证明成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个，使成立． 4．对全称量词命题、存在量词命题进行否定的方法： (1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； (2)对原命题的结论进行否定． 概括为：含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 1．从集合与集合之间的关系上看 设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 2.常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一个 至多 有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 1．从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 2.全称量词命题的否定为，. 3.存在量词命题的否定为. 注：全称．存在量词命题的否定是高考常见考点之一. 1．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知为空间的两个平面，直线，那么“∥”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充分且必要 D．不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】 根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】 当直线，∥，则，l与β相交，故充分性不成立； 当直线，且，时，∥，故必要性成立， ⸫“∥”是“”的的必要不充分条件. 故选：A. 2．（2022·山东聊城·三模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】 分析可知命题“，”为真命题，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围. 【详解】 由题意可知，命题“，”为真命题. ①当时，可得. 若，则有，合乎题意；