考向03 不等式性质与一元二次不等式（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向03 不等式性质与一元二次不等式 【2022·全国·高考真题（文）】已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，而，所以，即，所以． 又，所以，即， 所以．综上，． 故选：A. 【2022年新高考全国II卷】（多选题）若x，y满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． (1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件． (2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础． (3)解一元二次不等式的步骤： 第一步，将二次项系数化为正数； 第二步，解相应的一元二次方程； 第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图； 第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． (4)对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 3．已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为． 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． 4．已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． 5．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 6．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 8．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 9．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 1．比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 2．．等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 3．元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上． （2）①若，解集为． ②若，解集为． ③若，解集为． (2) 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为 ②若，解集为 1．（多选题）（2022·福建·三明一中模拟预测）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】 【分析】 由不等式的性质与基本不等式判断. 【详解】 ，，A错；， ， 成立，即B正确；， 得，当且仅当时取等号，同理，， 当且仅当时取等号，又， 即不同时等于1，，C正确； 当时，，D错. 故选：BC 2．（多选题）（2022·江苏扬州·模拟预测）已知，且，则下列说法中正确的有（       ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据基本不等式判断ABC，举反例判断D． 【详解】 由题意，当且仅当时等号成立，A正确； ，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，时，，D错误． 故选：ABC． 3．（2022·海南华侨中学模拟预测）不等式的解集为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用一元二次方程根与系数的关系可求得的值. 【详解】 由已知，关于的二次方程的两根分别为、，且， 所以，，解得. 故答案为：. 4．（2022·全国·模拟预测）已知“”是“”