专题04 平面图形的面积问题-2022年小升初数学无忧衔接（通用版）

专题04 平面图形的面积问题 由直观形象到抽象逻辑推理 小学生的理解思维是建立在直观的形象的思维基础上的，在接触初中几何的时候，这种思维就无法完成学习。除了直观的思维，还有需要一些归纳、推理、变量等复杂的思维，这样才能学好初中几何。举例说明，在小学几何学习中，推导一个长方体的体积公式的时候，首先要依靠模型操作，然后依靠几组数据进行归纳，最终推导出长方体的体积公式。这里面就包含了合情推理的思维。 在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，判断推理等等。难度自不必说，思维的层次也大为不同。甚至一些证明，必须用演绎推理来完成，比如“两直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，这个命题就需要演绎推理思维，学生必须要在自己的心中构建直观图形，难度加大了。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，在小学教材中是由实验得出的，学生较熟悉。因此，在教学中既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。 求几何图形面积常见方法及运用： 1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）容斥原理（韦恩图）等。 公式法，所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。 割补法，就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。 和差法，所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。 等积变换法，以线段比为对象运用两个面积比来表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的是抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或者随便求出直角边的平方。 【题型一】割补法求面积（一）平移与对称 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 【典题1】（2021·北京西城·小升初真题）如图中有一个圆和等腰直角三角形，阴影部分的面积是（ ）cm2。 A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】如图所示，阴影①、②与空白③、④的面积相等，将阴影①、②移到空白③、④的位置，则这个等腰直角三角形被4等分，阴影部分占2份，所以阴影部分的面积就变成了原来等腰直角三角形的面积的一半，利用三角形的面积公式即可求解。 【详解】20×（5×2）××＝200×＝50（cm²）故答案为：B 【点睛】解答此题的关键是明白：阴影部分的面积是原来等腰直角三角形的面积的一半。 【典题2】（2021·全国六年级培优）计算图中阴影部分的面积(单位：分米)． 【答案】37.5 【解析】将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形． (平方分米)． 【变式练习】 1．求如图中阴影部分的面积（单位：厘米） 【答案】9.12平方厘米 【解析】如图所示，阴影①的面积与空白②的面积相等，将阴影①平移到空白②的位置，则阴影部分的面积=扇形的面积﹣三角形的面积，三角形为等腰直角三角形，于是利用扇形和三角形的面积公式即可求解． 解：×3.14×（4×2）2﹣（4×2）×4÷2=×3.14×64﹣8×4÷2=25.12﹣16=9.12（平方厘米）； 答：阴影部分的面积是9.12平方厘米． 点评：解答此题的关键是：利用平移的方法，将阴影部分转化成容易求面积的图形，进而问题得解． 2．（2021·江苏小升初模拟）计算下图中阴影部分的面积。 【答案】107平方厘米 【分析】沿虚线剪拼如下： 由图可知阴影部分面积＝半圆面积－三角形面积。 【详解】3.14×（20÷2）2÷2－（20÷2）×（20÷2）÷2＝3.14×50－100÷2＝157－50＝107（平方厘米） 【点睛】本题主要考查阴影部分的面积，解题的关键是通过剪拼转化原图。 3．（2021·黑龙江牡丹江·小升初真题）求阴影的面积。（单位：厘米） 【答案】32.5平方厘米 【分析】如图所示，根据圆的特征，①、②部分的面积完全相等，求阴影部分的面积就是求②、③部分的面积和，而②、③部分组合成一个上底为5厘米、下底为8厘米、高为5厘米的梯形。阴影部分面积等于梯形面积。 【详解】（5＋8）×5÷2＝13×5÷2＝65÷2＝32.5（平方厘米） 4．（2022·安徽·六年级期末）计算阴影部分的面积。（π取3.14） 【答案】1.14平方厘米 【分析】如下图：连接两条半径的两个端点，三角形内的阴影部分可移到