第01讲 集合与逻辑-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

第01讲 集合与逻辑 【考点梳理】 【考点1】集合的有关知识 1． 集合的概念 把某些能够确切指定的对象全体看作一个整体，这个整体就称为一个集合，集合中的每个对象称为该集合的元素。任何一个对象对于某一个集合来说，或是属于该集合，或是不属于该集合。 （1） 集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性； （2） 集合的分类：有限集，无限集，空集； （3） 常用数集：正整数集，自然数集，整数集，有理数集，实数集； （4） 集合的表示法：列举法和描述法。 2. 子集与真子集 子集：若集合中任何一个元素都属于集合，则集合叫做集合的子集，记作或； 真子集：对于集合和，若,且中至少有一个元素不属于，则集合叫做集合的真子集，记作 相等的集合：对于两个集合和，若，且，则叫做集合与集合相等，记作； （1） 空集是任何集合的子集，即，空集是任何非空集合的真子集； （2） 任何集合是其自身的子集，即； （3） 子集的传递性：若，则； （4） 若，则或； （5） 相等的集合中的所含元素完全相同； （6） 连接元素与集合的符号有：和； （7） 连接集合与集合的符号有：，，等； （8） 含有个元素的集合的子集共有个,真子集有个。 3. 集合的运算 交集：； 并集：； 补集： （1） 交集与并集的定义仅一字之差，但结果却完全不同，交集中的且有时可以省略，而并 集中的或不能省略，补集是相对于全集而言的，全集不同，相应的补集也不同； （2） 交集的性质：，，，，； （3） 并集的性质：，，，，； （4） ，； （5） 集合的运算满足分配律： ，； （6） 补集的性质： （7） 摩根定律： ， 【考点2】命题 命题：能够判断真假的陈述句叫命题。 分类：真命题和假命题 命题和命题 真命题 假命题 如果，并且，那么记作，叫做与等价 【考点3】充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p 【考点4】反证法 反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【解题方法和技巧】 1.集合基本运算的方法技巧： （1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算； （2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合. 2、充要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断. (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 3、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. (3)数学定义都是充要条件. 【考点剖析】 【考点1】集合的有关知识 题型一:集合的概念 一、填空题 1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）若，则实数a的取值集合为______． 【答案】 【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值. 【详解】因为，故或或， 当时，，与元素的互异性矛盾，舍； 当时，，符合； 当时，或，根据元素的互异性，符合， 故a的取值集合为. 故答案为： 2．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知集合，，若，则___________. 【答案】0 【分析】根据集合元素的互异性和确定性，以及集合相等的概念，即可求出结果. 【详解】由题意可知，∴， 又 ∴，∴. 故答案为：. 3．（2021·上海交大附中高三开学考试）已知集合A={a，|a|，a-2}，若，则实数a的值为_____. 【答案】 【分析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定参数值． 【详解】依题意，若，则，不满足集合元素的互异性，所以； 若，则或（舍去），此时，符合题意；若，则，而， 不满足集合元素的互异性，所以，综上所述，的值为． 故答案为： 4．（2020·上海·华东师范大学附属天山学校