2.5函数的单调性-初高中数学衔接课学案

第二章　函　数 第5课时　函数的单调性 【学习要求】 1．理解单调性的定义． 2．运用单调性的定义判断函数的单调性． 【学法指导】 1、过对函数、、及的观察提出有关函数单调性的问题. 2、阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念 【知识梳理】 1．增函数与减函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的________________，改变量Δx＝x2－x1>0，则当____________________时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数(如图甲)，当____________________时，那么就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数(如图乙)． 2．单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是________或是________，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为________________． 知识点一　利用图象求单调区间 例1、如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。 ( x y 0 -5 5 x y -5 5 )解：函数的单调区间有， 其中在区间， 上是减函数，在区间上是 增函数。 注意：1 单调区间的书写 2 各单调区间之间的关系 以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？ 知识点二　利用定义证明函数的单调性 例2、证明函数在R上是增函数。 证明：设是R上的任意两个实数，且，则 ， 所以，在R上是增函数。 例3、证明函数在上是减函数。 证明：设是上的任意两个实数，且，则 由，得，且 于是 所以，在上是减函数。 利用定义证明函数单调性的步骤： （1） 取值 （2） 计算、 （3） 对比符号 （4） 结论 知识点三　函数单调性的应用 例4 已知函数f(x)＝ (x∈[2，＋∞))， (1)求f(x)的最小值； (2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围 解　(1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，f(x)＝x＋＋2 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2) ∵x1<x2，∴x1－x2<0 又∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－>0 ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． 故f(