2.4函数的值域-初高中数学衔接课学案

第二章 函 数 第4课时 函数值域的求解方法 【学习要求】 1. 掌握函数的值域定义及其求解函数的几种方法 2. 能根据不同的函数解析式求解函数的值域. 【学法指导】 灵活应用直接法.图象法（数形结合）.函数单调性法..换元法 求解函数的值域 【知识梳理】 法一:利用常见函数的值域来求（直接法） 一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}； 二次函数的定义域为R， 当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}. 例1 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1x1) ② ③ （记住图像） 解：①∵-1x1，∴-33x3， ∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5] ②略 ③ 当x>0，∴=， 当x<0时，=－ ∴值域是[2，+).（此法也称为配方法） 函数的图像为： 二次函数在区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①； ②； ③； ④； 解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }. ②∵顶点横坐标2[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数, ⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当时，其最小值； ②当a<0时，则当时，其最大值. ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时， 再比较的大小决定函数的最大（小）值. ②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论