专题3.4 幂函数（知识点讲解）- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试（新教材·新高考）

专题3.4 幂函数（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 与不等式、方程等问题结合，考查幂函数的图象与性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养． 【知识点展示】 1.幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. 2.常见的5种幂函数的图象 幂函数图象的要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域． 根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 3.常见的5种幂函数的性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 4.幂函数的几个结论 对于形如 (其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)． 【常考题型剖析】 题型一 幂函数的概念 例1. （2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为的是（       ） A． B． C． D． 例2．（2021·全国高一课时练习）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 例3. （2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________. 【特别警示】 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数， 题型二： 幂函数的图象和性质 例4.（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 例5.（2021·全国·高三专题练习）如图是幂函数的部分图象，已知取，，，这四个值，则与曲线，，，相对应的依次为（       ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 例6.【多选题】（2020·福建福州·高三阶段练习）若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是（       ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 例7.【多选题】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的有（       ） A． B． C．y＝x2－1 D．y＝x3 【规律方法】 幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可． 题型三：幂函数图象和性质的应用 例8.（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例9．【多选题】（2022·重庆市育才中学模拟预测）若a＞b＞0＞c，则(       ) A． B． C． D． 例10．（2022·湖南湖南·二模）“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例11.（2021·河北石家庄·模拟预测）已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A､B､C､D四点，且，则（       ） A． B．1 C． D．2 例12.（2022·四川泸州·模拟预测（文））已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是________. 例13.（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数______． ①； ②当时，； ③； 例14. （2022·北京通州·一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________． 【总结提升】 1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 2.利