专题3.3 函数的奇偶性与周期性（知识点讲解）- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试（新教材·新高考）

专题3.3 函数的奇偶性与周期性（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 以具体函数为载体，通过考查函数的奇偶性、周期性及函数图像的对称性，凸显数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养. 【知识点展示】 （一）函数的奇偶性 1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法： (2)图象法： 2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式 ①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． （二）函数的周期性 函数周期性的判定及应用 (1)只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T. (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合考查． (3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用． （三）常用结论 1．函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 2．周期性的几个常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 3．函数的图象的对称性 (1)函数y＝f(x)，若其图象关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函数)，则 ①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)． (2)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇函数)，则 ①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)； ③f(2a－x)＝－f(x)． (3)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则 ①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b. (4)函数f(x)与g(x)的图象关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)． (5)函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)． 【常考题型剖析】 题型一 函数奇偶性的判断 例1.（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 例2．（2022·湖南·雅礼中学二模）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（       ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【规律方法】 1.判断函数奇偶性的方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）性质法：在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2.熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2|a|； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2|a|； (4)若f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2|a|. 题型二： 函数奇偶性的应用 例3.（2021·湖南·高考真题）已知函数为奇函数，.若，则____________ 例4.（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______. 例5.（2021·陕西汉中·高三阶段练习（文））已知是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若，求实数t的取值范围． 【总结提升】 函数奇偶性常见问题： 1.求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值； 2.求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出； 3.求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性建立方程(组)，进而得出参数的值； 4.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象； 5.求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零求一些特殊结构的函数值. 题型三：函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、函数的单调性及应用 例6