专题3.2 函数的单调性与最值（知识点讲解）- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试（新教材·新高考）

专题3.2 函数的单调性与最值（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 以具体函数为载体，通过考查函数的单调性、考查函数的最值，凸显数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养. 【知识点展示】 （一）函数的单调性 1.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； 2.减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有 ，那么就说函数在区间上是减函数. 3.【特别提醒】 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 4.函数单调性的结论 (1)∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． (3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (4)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． (5)函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反． (6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”． （二）函数单调性的应用 1.函数的最值 （1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①对于任意的，都有； ②存在，使得. 那么，我们称是函数的最大值. （2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： ①对于任意的，都有； ②存在，使得. 那么，我们称是函数的最小值. 2.函数最值存在的两个结论 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． （2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 【常考题型剖析】 题型一 求函数的单调区间 例1.（2021·湖南·高考真题）函数的单调递减区间是（       ） A． B． C． D． 例2．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递增区间是（       ） A． B． C． D． 例3.（2022·江西·二模（文））已知函数若，则的单调递增区间为（       ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.求函数单调区间的常用方法：图像法、性质法、导数法； 2.求复合函数单调区间的一般步骤 (1)求函数的定义域(定义域先行)． (2)求简单函数的单调区间． (3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”． 3.特别提醒： (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2)重视函数的图象与性质(对称中心、单调性、渐近线)． 题型二： 函数单调性的判断与证明 例4.（2021·辽宁大连·高三学业考试）下列函数在R上为增函数的是（     ） A． B． C． D． 例5.（2022·北京·高三专题练习）已知函数． (1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【方法技巧】 1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性； 2.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数； （2）函数与函数的单调性相反； （3）时，函数与的单调性相反（）； 时，函数与的单调性相同（）. 3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）. 4.导数法：在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递增；在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递减. 【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较. 题型三：函数单调性的应用 例6.（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（       ） A． B． C． D． 例7．（2022·河北沧州·二模）已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（       ） A． B． C． D． 例8．【多选题】（2020·河北·藁城新冀明中学高三阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（       ） A．-2 B．1 C．2 D．3 【总结提升】 函数单调性的应用 （1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会） 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． （2）求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f