第06讲 函数的概念与运算-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第06讲 函数的概念与运算 【基础知识全通关】 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A． 2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．函数的表示方法 (1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法． (2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法． (3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法． 4．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等． 5．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【知识拓展】 1．复合函数： 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 2．抽象函数的定义域的求法： (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 【考点研习一点通】 考点01：映射的概念 1．以下对应中，从集合A到集合B的映射有 ；其中 是函数 。 （1） （2） （3） （4） 【解析】 （1）、（2）、（4）是映射，（1）、（2）是函数。 【点评】 1.判断是否映射的方法：先看集合A中的每个元素是否在集合B中都有象；再看集合A中的每个元素的象是否唯一； 2.函数是非空数集到非空数集的特殊映射，函数一定是映射，映射不一定是函数. 【变式1】设集合A=R，集合B=R＋，则从集合A到集合B的映射只可能是（ ） A 、 B、 C、 D 、 【答案】C； 【解析】 A、B、D中元素没有象。 2. 已知在映射的作用下的像是，求在作用下的像和在 作用下的原像。 【解析】 ， 所以在作用下的像是； 或 所以在作用下的原像是. 【点评】 弄清题意，明白已知是什么，求的又是什么是本题的关键. 【变式2】在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】 考点02：函数的概念 3．下列各组函数中表示同一函数的是 。 （1），； （2）； （3）； （4）。 【解析】 表示同一函数的是（1）、（3）。 其中第（2）组的定义域不同，第（4）组的对应法则不同。 【点评】 对应法则相同与函数的解析式相同是不一样的。对应法则是函数的核心，如（1）、（3）的对应法则是相同的。 【变式3】下面各组函数中为相同函数的是（ ） A、， B、， C、， D、， 【答案】C； 【解析】 A中两函数的定义域不同，的定义域不含；B中两函数的定义域也不同，的定义域为，而的定义域为R；D中的对应法则不同。 4．已知是一次函数，且满足，求 【解析】 由题可设， 所以 化简得 所以 所以 【点评】 换元法是常用的求解析式法，注意新元的范围，最后要给出函数的定义域；也可以用配凑的方法；除以之外，若已知函数类型，还可以利用待定系数法求函数解析式。 【变式】 已知函数分别由下表给出： 则满足的的值是 . 【答案】2； 【解析】 ∵； ； . ∴中. 考点03：分段函数 5．已知函数，求： （1）的值；（2）的定义域、值域。 【解析】 （1）∵， ∴ ∴ （2）的定义域为，即 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得的值域为。 【点评】分段函数分段讨论，先局部后整体；