专题02 式与方程-2022年小升初数学无忧衔接（通用版）

专题02 式与方程 数与代数式、方程的衔接 小学阶段，学生所接触到的数都是从生活中来的。在他们的印象中，数是一个具体的、能代表多少的表示符号，而在初中“有理数”知识中，引进了“式”的概念，从而研究式的运算。这是从“数”到“一段抽象的含字母的代数式的过渡”，是学生在学习数学上的一大转折点，实现从具体到一般、到抽象的飞跃，也是对刚入初中学生思维的一次飞跃。其实数与式的主要变化就是从数字的具体运算到代数式的形式化运算的转变。为了顺利完成这一转变，可以在小学高年级阶段尝试运用“半代数式运算”的方法进行教学渗透。 各版本的小学数学教材都安排了解方程的内容。小学生所接触的方程比较简单，加上受算术思维的影响，列出的这些方程，思维方式实质上还是算术的。为了让学生后续方程的学习，可以引导学生理解：列方程过程中，重要的是未知数要参与运算，用等量关系列出方程。 1．用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1）用字母表示数和数量关系 （1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a＋b）人； （2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克 （3）路程＝速度×时间，用字母表示为s＝vt； （4）正比例关系：（一定），反比例关系：x×y＝k（一定）。 2）用字母表示计算公式及运算定理 长方形周长：C＝2（a＋b）； 长方形面积：S＝ab； 长方体体积：V＝abh或V＝Sh。 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 乘法交换律：ab＝ba 乘法结合律：（ab）c＝a（bc） 乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc 注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2。 2．等式与方程 1）等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2）等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3）解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 【题型一】 字母表示数 【解题技巧】1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来。 2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义。使思维过程简约化，易于形成概念系统。 【典题1】（2022·全国·六年级期末）冬冬今年12岁，爸爸今年36岁，如果用a表示冬冬某一年的年龄，那么用（       ）表示这一年爸爸的年龄最合适。 A．a＋12 B．a＋24 C．a＋36 D．3a 【答案】B 【分析】因为年龄差不变，所以先求出两人相差的年龄，再表示出爸爸的年龄。 【详解】a＋（36－12）＝（a＋24）岁故答案为：B 【点睛】此题考查的是用字母表示数，明确数量关系是解题关键。 【典题2】（2021·福建·浦城县荣华实验学校六年级期末）餐厅规定：一张桌子每边坐一人，可坐4人。当客人超过4人时，将多张桌子拼成一张长桌，如下图：第n张桌子可座( )人。（用含有字母n的算式表示） 【答案】2n＋2 【分析】观察三个图形得到每增加一个桌子就可多坐两个人，于是得到n张正方形桌子可坐[4＋2（n－1）]人。 【详解】一张正方形桌子可坐4人，二张正方形桌子可坐（4＋2×1）人，三张正方形桌子可坐（4＋2×2）人，n张正方形桌了可坐[4＋2（n－1）]人，即n张桌子拼在一起可以坐（2n＋2）人。 【点睛】本题考查用字母表示数和式子，正确发现和总结规律是解答本题的关键。 【变式练习】 1．（2022·江苏宿迁·五年级期中）甲袋有千克大米，如果从甲袋倒出6千克装入乙袋，那么两袋的大米同样重。原来乙袋有( )千克大米。 【答案】a－12 【分析】此题设乙袋有b千克大米，因为从甲袋倒出6千克装入乙袋，那么现在甲袋就有a－6千克，乙袋就有b＋6千克，根据二者相等找出a、b之间的关系即可解答此题。 【详解】设乙