第09讲 等腰直角三角形和直角三角形-2022-2023学年八年级全册初二数学【培优竞赛超级课堂】

,∠ADE=60°，∠BDC=2∠EDC, .∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°， .∠FCB=∠EDC=40°.∠ECD=20° ∴.∠CAE=∠CEA=67.5°，.AC=CE ..∠DCB=20° (CM=CM, 在Rt△ACM和Rt△ECM中， AC-CE, .Rt△ACM≌Rt△ECM(HL), ∴∠ACM=∠ECM=号X45°=2.5 又：∠DAE=号×45=2.5， 图1 图2 ∴.∠DAE=∠ECM 方法二如图2，延长AB至点F,使AF=AC,连接 ,∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC, CF,则△ADE,△AFC均为等边三角形 .'.AD=CD=BD. ∴AF=AC=CF,∠A=∠F. ∠DAE=∠DCN, .DB+DE=EC,..DF=EC=AB...AD=FB. ∴△ADC≌△FBC.∴∠ACD=∠FCB. 在△ADE和△CDN中，AD=CD, N∠ADE=∠CDN, ∠ADE=60°，∠BDC=2∠EDC,∴.∠EDC=40°. .△ADE≌△CDN(ASA). ∴.∠FCB=∠ACD=20°.∴.∠DCB=20° .'.DE=DN. 第9讲等腰直角三角形和直角三角形 例1(1)，∠BAC=90°，AB=AC, 例2如图1，过点A作AELAC,交CD的延长线于点E. :∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠3. ∴.∠B=∠ACB=45°. ,∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°，∠ADE+ FC⊥BC,∴.∠BCF=90. ∴∠ACF=90°-45°=45°.∠B=∠ACF. ∠ADC=180°，.∠ABC=∠ADE :∠BAC=90°，FA⊥AE ,AB=AD,∴.△ABC≌△ADE.∴.AC=AE=2. ∴.∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90° .S四边形ABD=SAABC十SAMD=SAADE十SAACD=S△XCE .∠BAE=∠CAF 2X2X2=2. ∠BAE=∠CAF, 在△ABE和△ACF中，AB=AC, ∠B=∠ACF, .△ABE≌△ACF(ASA). ..BE=CE. (2)①如图，过点E作EH 图1 图2 AB于点H,则△BEH是等 当然此题还可以推出∠ACB=∠ACD=45°，如图2，过 腰直角三角形， 点B作BE⊥AC于点E,过点D作DF⊥AC于点F. .HE=BH,∠BEH=45 AE平分∠BAD,AD⊥BC, :S造形D=2AC·BE+号AC·DF ..DE=HE...DE=BH=HE. =2AC.(BE+DF=2AC·AC. BM=2DE,∴.HE=HM. .AC=BE+DF.易证△ABE≌△DAF. ∴.△HEM是等腰直角三角形. ∴.AF=BE,DF=AE ∴.∠MEH=45..∠BEM=45°+45°=90. ..AC=BE+DF=BE+AE=AE+CE. ∴.ME⊥BC .CE=BE.∠ACB=45. ②由题意得∠CAE=45+7×45°=61.5， 例3D提示：AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD, 26 又CE⊥AD, .∴.△QEM≌△CBM. ∴.EM=MB. ∴.∠AEC+∠EAD=∠ECA+∠CAD, .AB=BC,AE=BP, .∠AEC=∠ACE,∴.AE=AC,∴①正确 ∴.AB-AE=BC-BP,即EB=PC. 如图1，过点B作BM⊥BC交CE的 ..2MB=PC. 品-2 延长线于点M,则BM∥AC, ∴.∠MBE=∠BAC=45°. (3)如图，过点A作AG⊥AD交 QF于点G. ,∠ECD+∠CDA=90°=∠DAC+ F ∠ACE, 图1 '∠QAP=∠GAD, ∴.∠QAP-∠GAP=∠GAD ∠DCP=∠DAC=45°=22.5. 2 ∠GAP,即∠QAG=∠PAD. ∠DAC=∠MCB, ,AQ⊥QF,AP⊥PD,.∠AQ=∠APD. 在△DAC和△MCB中，AC=CB: AQ=AP, ∠ACD=∠CBM, ∴.△AQG≌△APD.∴.DP=QG,AG=AD. ∴.△DAC≌△MCB(ASA),∴.BM=CD, .∠BAC=45°， ,∠M=90°-∠MCB=67.5°，∠MBE=45°， ∴.∠GAF=∠GAC-∠BAC=90°-45°=45°. ∴.∠BEM=67.5=∠M,∴.BM=BE, ∴.∠BAC=∠GAF. ∴BE=CD,②正确. ,AF=AF,∴.△GAF≌△DAF FC=BE,∴，MB=FC, .GP-DE.2 ope-. DF DF ∠M=∠PCF, 在△MPB和△CPF中，∠MPB=∠CPF, 例5(1)A(-6,0),B(0,6),.OA=OB=6. MB=CF. ÷Saa=20A.0B=号×6X6=18 ..△MPB≌△CPF(AAS