第08讲 等边三角形-2022-2023学年八年级全册初二数学【培优竞赛超级课堂】

(3)如图3，以CD为边在△ACD内作等边△OCD,连 .∴.∠BED=2∠BCD=30° 接AO. 在R△EBM中，BM=2BE.∴BM=2CE (4)如图4，作CE⊥AD于点E,作DF⊥BC于点F. .∠ACB=90°，.∠ACH=90°-15°=75°， 230°.提示：如图，在AM上取一点D,使得 ∴.∠ACH=∠CBM=75. BD=BA,连接DN,BD ∠ACH=∠CBM, 则BD=BA=BN,且∠ABD=2O°， 在△ACH和△CBM中， ∠AHC=∠CMB, 从而∠BDN=60°，∠MDN=40°. AC-BC, ,∠DBM=∠DMB=40°， ,∴.△ACH≌△CBM(AAS),..CH=BM. ∴.DM=DB=DN. ∠DMN=180°，40°=70. 又：BM=CE,CH=HE 2 ∴.AH垂直平分CE,∴AE=AC,AE=BC. 故∠NMB=∠DMN-∠DMB=70°-40°=30 例3如图，过点A作AQ⊥AP,且AQ 1320,80,200,320. 提示：如图，以 D. =AP,连接QP,QB,QO. 点A为圆心，以AB长为半径作 在△AQB与△APO中，AB=AO, 圆A,分别以B,C为圆心，以BC ∠QAB=∠PAO,QA=PA, 长为半径作圆B和圆C,BC的中 ∴.△AQB≌△APO(SAS). 垂线交圆A于D1,D2两点，圆B ∴.∠ABQ=∠AOP=30°，∠AQB=∠APO=15. 与圆A交于点D,圆C与圆A交于点D.D,D2, :∠AQB+∠ABQ+∠QAB=180°， D,D四点即为所求，∠BAD2=20°，∠BAD4=80°， .∠QAB=135 ∠BAD1=200°，∠BAD=320°. :∠QAB+∠OAB+∠QAO=360°， 第8讲等边三角形 ..∠QAO=∠QAB=135°. 例1(1)，△ABC为正三角形， 在△AQ0与△AQB中，QA=QA,∠QAO=∠QAB, ∴.AB=AC,∠BAC=∠C=60°. AO=AB,,.△AQO≌△AQB(SAS). .'AE=CD,,∴.△ABE≌△CAD 再证△OPQ为等边三角形，∴.∠ABP-105°. (2)如图，令∠ABE=∠1，∠CAD 例4BM十CN=MN.证明如下： ∠2，∠BAD=∠3. 如图1，延长AC至点M1,使CM,=BM,连接DM, .△ABE≌△CAD,∴∠1=∠2. 则∠ABD=∠ACD=90°. :∠2+∠3=60°，.∠1+∠3=60°. .BD=CD,∴.Rt△BDM≌Rt△CDM. ∴.∠BPQ=∠1+∠3=60°. ∴.MD=MD,∠MDB=∠MDC (3),BQ⊥AD,.∠PQB=90°， .∠MDM,=(120°-∠MDB)+∠M,DC=120°. .∠PBQ=30°，∴.BP=2PQ=2X3=6. 又：∠MDN=60°，∴.∠M1DN=∠MDN=60°. .PE=1,..BE=BP+PE=7. '.△MDN≌△MDV. △ABE≌△CAD,.AD=BE=7. ..MN=NM=NC+CM=NC+MB. 2如图，过点B作BMLCD交CDB 的延长线于点M,过点A作AH⊥ CD于点H. ,E为BC垂直平分线上的点， ∴.EB=EC ,'.∠EBC=∠ECB=15°. 图 图2 22 附加题：CN一BM=MN.证明如下： ∴在R△BOF中，EF=合0E=号×4=2. 如图2，在CN上截取CM1,使CM,=BM,连接DM. :∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°， 在Rt△DCE中，CE=2DE=12. .BF=CF=12-2=10. ∴.∠DBM=∠DCM=90°. .BE=BF-EF=10-2=8. .BD=CD,'.Rt△BDM≌Rt△CDM. 变式31如图，以AC为边构造等边 .∠MDB=∠M1DC,DM=DM1. :∠BDM+∠BDN=60°， △ACT,连接DT,证△BCA≌△DAT, .∠CDM,十∠BDN=60°. .DT=AT=CT,∠ATD=20°， ∠DTC=40°，∠TDC=70°，∠ADTB .∠NDM=∠BDC-(∠M1DC+∠BDN)=120° =80°.，∴.∠BDC=30° 60°=60° ∴.∠MDN=∠MDN. 变式41(1)：△ABC和△DCE为等边三角形， ..AC-BC,DC-CE, ND=ND,∴.△MDN≌△MDN. ..MN=M N=NC-CM =NC-MB. 且∠ACE=∠BCD=60°+∠ACD. AC=BC. 【变式题组】 在△BCD和△ACE中，∠BCD=∠ACE, 变式11如图，延长AB到点M,使 DC-CE. BM=AD,连接ME,延长BC至 .△BCD≌△ACE(SAS)..AE=BD. 点N,使CV=BE,连接FN