第05讲 角平分线-2022-2023学年八年级全册初二数学【培优竞赛超级课堂】

第5讲角平分线条件②③，若要继续满足条件④，则需找到一条过点E 例1∵AD平分∠BAC，CD⊥AC，DE⊥AB，的直线，且与AD边交于点D，与BC边交于点C，还要 _∴CD=DE。∵BE=CF，满足E为CD的中点(如图4)。显然这条直线不太好 ∴△CDF≌△EDB(SAS)．∴BD=DE。作。我们继续让条件特殊化，但同时仍然满足条件 例]过点P分别作PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，垂足分②③，例如可设∠DAB=∠ABC如图5)，此时∠1= 别为点D，E，F。∠2=∠3=∠4，我们只需过点E作AB的平行线。图 ∵∠1=∠2，∴PD=PE．中点D，C即为所求。易证ED=EC，即满足条件④，但 同理，PD=PE，∴PE=PF．图5显然不满足条件①，此特例可说明②③④⇒①是 ∴AP平分∠BAC．_错误的命题。 例]①③④。【变式题组】 圆49．提示：共10种情形，其后打“√”的是正确的命应式11A提示：∵AD平分∠CAB，∴DC=DE。 题，其后打“×”的是错误的命题。∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC=AE。 （1)①②③⇒④⑤√（6)①④⑤⇒②③√∴DE＋DB＋EB=(DC+DB)+EB=BC+EB= AC+EB=AE+EB=AB=4\sqrt{2}. （3)①②⑤⇒③④√（8)②③⑤⇒①④√变式12C提示：如图，在BC上取A （4)①③④⇒②⑤√（9)②④⑤→①③√CD=AC，连接BP.DP。 （5)①③⑤⇒②④√（10)③④⑤⇒①②√∵CP平分∠ACB， 以上10个命题中有9个是正确的1个是错误的。正确∠ACP=∠DCP。 的命题的证明关键是作辅助线，下面选取两个命题作(AC=CD， 辅助线，证明过程请读者自己思考。在△ACP和△DCP中，∠ACP=∠DCP， 对于第(3)个命题(如图1)，延长AE交BC的延长线(CP=CP， 于点F，证明略。∴△ACP≌△DCP(SAS)． 对于第(9)个命题(如图2)，在AB上截取AF=AD，连AP=DP，∠CAP=∠CDP。 接EF，证明略。∵BC=AP+AC，∴BD=AP．∴BD=DP。 对于第(7)个命题，②③④⇒①是错误的命题。下面给∠PBD=∠BPD 出一位解题者的探究，并给出他的思维过程。∴∠CDP=∠PBD+∠BPD=2∠PBD。 又∵AP，CP分别是∠BAC和∠ACB的角平分线， D|___∴BP是∠ABC的角平分线． E E E____⊥∴∠ABC=2∠PBD，∠BAC=2∠CAP。 B～_在下-B-C、B∴∠CDP=∠ABC。 图1图3° ∴∠BAC=2∠CAP=2∠CDP=2∠ABC A∵∠B=40°，∴∠BAC=40°×2=80° 变式21如图，过点P分别作PF⊥E AD于点F，PG⊥AE于点G，PH⊥ BⅳC―B―℃～_ BC于点H． ∵PA平分∠BAC，∴PF=PG.ABFD 图4-∵PB平分∠CBD，∴PF=PH。∴PG=PH。 若任意作两个角，如图3所示。因为我们是在举反例，PG⊥AE，PH⊥BC， 所以显然刻意使得AD与BC不平行，然后作∠DAB点P在∠BCE的平分线上。 的平分线，使其与∠ABC的平分线交于点E。此时满足∴PC平分∠BCE。 ―13— 变式22D提示：如图，过点D 又，BD平分∠ABC, 作DE⊥AB交AB的延长线于 .CD平分∠ACB的外角（过点D 点E,DF⊥AC交AC的延长线 作BA,BC边上的垂线可证). 于点F,DG⊥BC于点G. ∴.∠BDC=∠DCN-∠DBN= AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, ∠ACN_∠ABC=∠BAC 2 2 2 ..DF=DE. 在△ABC中，∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=58°， 又，∠ACD=136°，∠BCD=44°， ∴.∠ACB=92°，∠DCF=44°..CD平分∠BCF. ∠BDC=∠BAC-5S=29. 2 2 又，DF⊥AC于点F,DG⊥BC于点G, 【能力平台】 .DF=DG.∴.DE=DG..BD平分∠CBE 1B提示：PQ的最小值就是点P到OM的垂线段的长 ∴∠DBE-∠CBE 度，因为OP平分∠MON,根据角平分线上的点到角 两边的距离相等，可得PQ的最小值就是PA的长，即 :AD平分∠BAC,∠BAD=∠BAC PQnin=2. ∴∠ADB=∠DBE-∠BAD=2(∠CBE-∠BAC) 2A提示：因为DE⊥AB,所以∠AED=90°.又AD是 ∠CAB的角平分线，AC⊥CD,由角平分线的性质得 =3∠ACB=2×92=46. DC=DE,又AD=AD,故△ACD≌△AED,所以 变式31C提示：，AF平分∠CAB,BF平分∠CBE, ∠ADC=∠ADE,故①成立；在Rt△ABC中，∠C= ·∠F=∠FBE-∠FAB=∠CBE