专题3.1 函数的概念及其表示（知识点讲解）- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试（新教材·新高考）

专题3.1 函数的概念及其表示（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 1．以分式函数、对数函数及带二次根号的函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养． 2．考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养． 【知识点展示】 （一）函数的概念 1.（1）在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. 2.已知函数的具体解析式求定义域的方法 (1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 3．抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． （二）求函数的解析式 1.待定系数法：当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式 2.换元法：如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式 3.配凑法：将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式 4.解方程组法：如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式. （三）分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【常考题型剖析】 题型一 求函数的定义域 例1.（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____. 例2.（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________． 例3.（2020·北京·高考真题）函数的定义域是____________． 例4.（2013·全国·高考真题（理））已知的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 例5.（2021·黔西南州同源中学高一期中）已知函数的定义域为，则的定义域为__________. 【方法技巧】 1．根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 2．求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 3．求函数定义域应注意的问题 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化； (2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．　　 题型二：已知函数的定义域求参数 例6. （2021·浙江学军中学高一竞赛）若函数的定义域为R，则a的取值范围是_____________． 例7．（2021·全国）函数的自变量的取值范围为一切实数，则实数m的取值范围是________． 【总结提升】 已知函数的定义域求参数问题的解题步骤 (1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题； (2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围． 题型三：函数的解析式问题 例8.（2022·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（       ） A． B． C． D． 例9.（2016·浙江·高考真题（文））设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，，则实数a=_____，b=______. 例10.（2006·安徽·高考真题（理））函数对于任意实数满足条件，若则_______________． 例11.（2021·上海高一专题练习），则________. 例12.（2021·黔西南州同源中学高一期中）已知函数满足，则__________. 【特别提醒】 谨防求函数解析式的两种失误： (1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定