课时达标5 基本不等式（word练习）-【状元桥】2023高考数学(理科)一轮总复习(老教材 新高考)

课时达标(五) 1．函数f(x)＝的最小值为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析 　f(x)＝＝|x|＋≥2＝4，当且仅当x＝±2 时，等号成立．故选B项． 2．(2021·天津改编)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 答案　C 解析 　因为a>0，b>0，所以＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时，等号成立，所以＋＋b的最小值为2.故选C项． 3．(2022·山西太原月考)若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　) A．x＝y B．x＝2y C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1 答案　C 解析 　因为x>0，y>0，所以x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时，等号成立．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2”的充分不必要条件．故选C项． 4．若x≥y，则下列不等式中正确的是(　　) A．2x≤2y B．≥ C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy 答案　D 解析 　由指数函数的单调性可知，当x≥y时，2x≥2y，故A项错误；当0>x≥y时，≥不成立，故B项错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C项错误；x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D项正确．故选D项． 5．(2022·内蒙古包头期中)设a>0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(　　) A．16 B．9 C．4 D．2 答案　C 解析 　当x>1时，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x＝1＋时，等号成立．由题意知2＋1≥5，所以a≥4.故选C项． 6．(2022·陕西汉中月考)若实数x，y满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案　B 解析 　因为实数x，y满足xy＋6x＝4，所以x＝∈，所以y>0，则＋＝y＋6＋≥2＋6＝8，当且仅当y＝1，x＝时，等号成立，所以＋的最小值为8.故选B项． 7．设x>0，y>0，不等式＋＋≥0恒成立，则实数m的最小值是(　　) A．－2 B．－4 C．1 D．2 答案　B 解析 　因为x>0，y>0，不等式＋＋≥0恒成立，所以只需m≥max.因为(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立，所以m≥－4，所以m的最小值为－4.故选B项． 8．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≥(a＞0，b＞0) B．a2＋b2≥2(a＞0，b＞0) C.≤(a＞0，b＞0) D.≤(a＞0，b＞0) 答案　D 解析 　由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．故选D项． 9．(2022·上海黄浦区模拟)已知a＞0，b＞0，若a＋b＝4，则a2＋b2的最小值为________. 解析 因为a＞0，b＞0，a＋b＝4，所以≥2＝4，即a2＋b2≥8，当且仅当即时，等号成立，所以 a2＋b2的最小值为8. 答案　8 10．(2022·广西桂林月考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________． 解析 因为a－3b＋6＝0，所以a－3b＝－6，所以2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝2×2－3＝，当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3b，即a＝－3，b＝1时，等号成立，即2a＋取得最小值. 答案　 11．函数y＝(x>－1)的最小值为　　　　. 解析 因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，所以y≥2－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立． 答案　0 12．(应用型)某工厂建造－个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________m. 解析 设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m，由题意可得水池总造价f(x)＝150×＋120＝240 000＋720(x>0)，则f(x)＝720＋240 000≥720×2＋240 000＝720×2×40＋240 000＝297 600，当且仅当x＝，即x＝40时，f(x)有最小值297 600，此时另一边的长度为＝40(m)，因此要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为4×40＝160(m)． 答案　160 13