专题08 三角恒等变换问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题08　三角恒等变换问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos(α＋)sinβ，则(　　) A．tan(α－β)＝1　　B．tan(α＋β)＝1　　C．tan(α－β)＝－1　　D．tan(α＋β)＝－1 1．答案　C　解析　由已知得，sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝2(cosα－sinα)sinβ，即sinαcosβ ＋cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0．所以tan(α－β)＝－1．故选C． 2．(2022·浙江)若3sinα－sinβ＝，α＋β＝，则sinα＝__________，cos2β＝__________． 2．答案　　　解析　α＋β＝，∴sinβ＝cosα，即3sinα－cosα＝，即(sinα－cosα) ＝，令sinθ＝，cosθ＝，则sin(α－θ)＝，∴α－θ＝＋2kπ，k∈Z，即α＝θ＋＋2kπ，∴sinα＝sin(θ＋＋2kπ)＝cosθ＝，则cos2β＝2cos2β－1＝2sin2α－1＝．故答案为与． 【知识总结】 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝±. (2)商的关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3．三角恒等变换 (1) 和角差角公式： cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ， sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ， tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝. (2)二倍角公式： sin 2α＝2sinαcosα， cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， tan 2α＝. (3)降幂公式： sin2α＝，cos2α＝. (4)辅助角公式： asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 【同类问题】 题型一　给角求值 1．tan 105°等于(　　) A．2－　　　　　　　B．－2－　　　　　　　C．－2　　　　　　　D．－ 1．答案　B　解析　tan 105°＝tan(60°＋45°)＝＝＝＝＝－2 －． 2．等于(　　) A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D． 2．答案　B　解析　＝＝＝＝． 3．化简等于(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．2 3．答案　B　解析　原式＝＝＝＝ ＝． 4．sin 40°(tan 10°－)等于(　　) A．2　　　　　　　　B．－2　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．－1 4．答案　D　解析　sin 40°·(tan 10°－)＝sin 40°·＝sin 40°·＝sin 40°·＝sin 40°·＝sin 40°·＝sin 40°·＝＝＝－1． 5．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ ． 5．答案　－　解析　cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝ －＝－＝－＝－＝－＝－． 6．的值为(　　) A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．2 6．答案　C　解析　原式＝＝＝＝． 7．tan 67.5°－的值为(　　) A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．4 7．答案　C　解析　tan 67.5°－＝－＝－＝ ＝＝2． 8．求值：＝ ． 8．答案　8　解析　原式＝＝＝＝＝8． 9．已知m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于(　　) A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 9．答案　B　解析　因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，因此 ＝＝＝＝－． 10．(多选)下列各式中，值为的是(　　) A．cos2－sin2　　　B．　　　C．2sin 195°cos 195°　　　D． 10．答案　BC　解析　cos2－sin