专题07 导数中的问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题07　导数中的问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅱ) 曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 1．答案　y＝x　y＝－x　解析　因为y＝ln|x|，当x＞0时y＝lnx，设切点为(x0，lnx0)，由y′＝，所以y′|x ＝x0＝，所以切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－lnx0＝(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝ (x－e)，即y＝－x；当x＜0时y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由y′＝，所以y′|x＝x1＝，所以切线方程为y－ln(－x1)＝ (x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝ (－x1)，解得x0＝－e，所以切线方程为y－1＝－(x＋e)，即y＝－x；故答案为y＝x；y＝－x． 2．(2022·新高考Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 2．答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞)　解析　∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，设切点为(x0，y0),则y0＝(x0 ＋a)ex0,切线斜率k＝(x0＋1＋a)ex0，切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(x－x0)．∵切线过原点，∴－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(－x0)，整理得，x02＋a x0－a＝0．∵切线有两条，∴△＝a2＋4a>0,解得a<－4或a>0，∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)，故答案为(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 3．(2022·全国乙文)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为(　　) A．－，　　　　　B．－，　　　　　C．－，＋2　　　　　D．－，＋2 3．答案　D　解析　f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，所以f(x)在区间(0，)和(，2π)上f′(x)>0， 即f(x)单调递增；在区间(，)上f′(x)＜0，即f(x)单调递减，又f(0)＝f(2π)＝2，f()＝＋2，f()＝－(＋1)＋1＝－，所以f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－，最大值为＋2．故选D． 4．(2022·新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　) A．f(x)有两个极值点　　　　　　　　　　　B．f(x)有三个零点 C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心　　　　D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 4．答案　AC　解析　由题，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0得x＞或x＜－，令f′(x)＜0得－＜x＜， 所以f(x)在(－，)上单调递减，在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，所以x＝±是极值点，故A正确；因f (－)＝1＋>0，f ()＝1－>0，f (－2)＝－5＜0，所以，函数f(x)在(－∞，－)上有一个零点，当x≥时，f(x)≥f()>0，即函数f(x)在(，＋∞)上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，则h(x)是奇函数，(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．故选AC． 5．(2022·新高考Ⅱ) 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图像关于点(，0)中心对称，则(　　) A．f(x)在区间(0，)单调递减　　　　　　　　B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴　　　　　D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 5．答案　AD　解析　由题意得，f()＝sin(＋φ)＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z， 又0<φ<π，所以k＝2时，φ＝，故f(x)＝sin(2x＋)．对A，当x∈(0，)时，2x＋∈(，)，由正弦函数y＝sinu图象知y＝f(x)在(0，)上是单调递减；对B，当x∈时，2x＋∈(，)，由正弦函数y＝sinu图象知y＝f(x)只有1个极值点，由2x＋＝，解得，即x＝为函数的唯一极值点；对C，当x＝时，2x＋＝3π，f()＝0，直线x＝不是对称轴；对D，由y′＝2cos(2x＋)＝－1，得cos(2x＋)＝－，解得2x＋＝＋2kπ(k∈Z)或2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，从而得，x＝kπ(k∈Z)或x＝＋kπ(k∈Z)，所以函数y＝f(x