专题05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题05　函数的奇偶性(对称性)与周期性问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙文)若是奇函数，则_____，______． 1．答案　　　解析　因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为；． 2．(2022·新高考Ⅱ)已知函数的定义域为R，且，则(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．0　　　　　　　　D．1 2．答案　A　解析　因为，令可得，，所以 ，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数一个周期为6． 因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选．A． 3．(2022·全国乙理)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7．若y＝g(x) 的图像关于直线x＝2对称，g(2)＝4．则(　　) A．－21　　　　　　　　B．－22　　　　　　　　C．－23　　　　　　　　D．－24 3．答案　D　解析　因为的图像关于直线对称，所以，因为 ，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，． 因为，所以，即，所以． 因为，所以，又因为，联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以，因为，所以．所以．故选．D． 4．(2022·新高考Ⅰ)已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若， 均为偶函数，则(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 4．答案　BC　解析　因为，均为偶函数，所以即 ，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误．故选．BC． 【常用结论】 1．函数奇偶性常用结论 结论1：如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，那么f(0)＝0． 结论2：如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． 结论3：若函数y＝f(x＋b)是定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称． 结论4：若函数y＝f(x＋a)是定义在R上的偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． 结论5：已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0． 推论1：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c． 推论2：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)max＋g(x)min＝2c． 结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇． 结论7：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． 结论8：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 结论9：函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数；函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝ (a>0且a≠1)是奇函数； 结论10：函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝loga(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数． 结论11：函数y＝f(x)是可导的奇函数，则导函数y＝f′(x)是偶函数；函数y＝f(x)是可导的偶函数，则导函数y＝f′(x)是奇函数； 结论12：导函数y＝f′(x)是连续的奇函数，则所有的原函数y＝f(x)都是偶函数；导函数y＝f′(x)是连续的偶函数，则原函数y＝f(x)中只有一个是奇函数； 2．函数的对称性(奇偶性的推广) (1)函数的轴对称 定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化． (2)函数的点对称 定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． 推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 推论2：如果函数y＝f(x)满