专题04 平面向量问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题04　平面向量问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙理) 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2 1．答案　C　解析　∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，又∵|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，∴a·b＝1．故选C． 2．(2022·全国乙文) 已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　) A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．5 2．答案　D　解析　因为a－b＝(4，－3)，，所以|a－b|＝5．故选D． 3．(2022·全国甲理) 设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)b＝________． 3．答案　11　解析　设a，b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cosθ＝，又|a|＝1，|b|＝3， 所以a·b＝|a||b| cosθ＝1，所以(2a＋b)b＝2a·b＋|b|2＝11．故答案为11． 4．(2022·全国甲文) 已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________． 4．答案　－　解析　由题意知a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－，故答案为－． 5．(2022·新高考Ⅰ) 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n　　　　　B．－2m＋3n　　　　　C．3m＋2n　　　　　D．2m＋3n 5．答案　B　解析　因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2(－)， 所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．故选B． 爪子定理　如图1，＝＋，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．故选B． 如图2，＝2＋2，所以＝－＝m－n．没答案． 6．(2022·新高考Ⅱ) 已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若<a，c>＝<b，c>，则t＝(　　) A．－6　　　　　　　　B．－5　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．6 6．答案　C　解析　c＝(3＋t，4)，cos<a，c>＝cos<b，c>，即＝，解得t＝5，故选C． 7．(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则· 的取值范围是(　　) A．[－5，3]　　　　　　B．[－3，5]　　　　　　C．[－6，4]　　　　　　D．[－4，6] 7．答案　D　解析　依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)， 因为PC＝1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设P(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π]，所以＝(3－cosθ，－sinθ)，＝(－cosθ，4－sinθ)，所以·＝(－cosθ)(3－cosθ)＋(4－sinθ)(－sinθ)＝cos2θ－3cosθ－4sinθ＋sin2θ＝1－3cosθ－4sinθ＝1－5sin(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，因为－1≤sin(θ＋φ)≤1，所以－4≤1－5sin(θ＋φ)≤6，即·∈[－4，6]，故选D． 极化恒等式法　设AB的中点为M，连接CM，则||＝，即点M在如图所示的圆弧上，则· ＝||2－||2＝||2－≥(|CM|－1)2－＝－4．·＝||2－||2＝||2－≤(|CM|＋1)2－＝6． 【知识总结】 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．向量a与b的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 3．平面向量的数量积 (1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ. (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 4．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．利用数量积求长度 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. 6．利用数量积求夹角 设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝. 【常用结论】 1．“