专题03 复数问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题03　复数问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙理) 已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－2　　　B．a＝－1，b＝2　　　C．a＝1，b＝2　　　D．a＝－1，b＝－2 1．答案　A　解析　＝1＋2i，z＋a＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝(1＋a＋b)＋(2a－2i)i，由z＋a＋b ＝0，得a＝1，b＝－2，故选A． 2．(2022·全国乙文) 设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－1　　　B．a＝1，b＝1　　　C．a＝－1，b＝1　　　D．a＝－1，b＝－1 2．答案　A　解析　因为a，b为实数，(a＋b)＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝0，解得，a＝1，b＝－1． 故选A． 3．(2022·全国甲理) 若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i　　　B．－1－i　　　C．－＋i　　　　　D．－－i 3．答案　C　解析　＝－1－i，z＝(－1＋i)(－1－i)＝4，＝＝－＋i．故选C． 4．(2022·全国甲文) 若z＝1＋i．则|iz＋3|＝(　　) A．4　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．2 4．答案　D　解析　因为z＝1＋i．所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3|＝2．故选D． 5．(2022·新高考Ⅰ) 若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2 5．答案　D　解析　由题设有1－z＝＝－i，所以z＝1＋i，故z＋＝2，故选D． 6．(2022·新高考Ⅱ) (2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i　　　　　　B．－2－4i　　　　　　C．6＋2i　　　　　　D．6－2i 6．答案　D　解析　(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i，故选D． 7．(2022·北京) 若复数z满足iz＝3－4i＝，则|z|＝(　　) A．1　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．7　　　　　　　　D．25 7．答案　B　解析　由题意有z＝＝1＋i，故|z|＝＝5．故选B． 8．(2022·浙江)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i) i(i为虚数单位)，则(　　) A．a＝1，b＝－3　　　B．a＝－1，b＝3　　　C．a＝－1，b＝－3　　　D．a＝1，b＝3 8．答案　B　解析　a＋3i＝－1＋bi，而a，b为实数，故a＝－1，b＝3，故选B． 【知识总结】 1．复数的相关概念及运算法则 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ①z是实数⇔b＝0；②z是虚数⇔b≠0；③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0. (2)共轭复数 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi. (3)复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝. (4)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)． (5)复数的运算法则 加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； 除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)． 2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. (2)＝i，＝－i. (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)． 【同类问题】 题型一　复数的概念 1．(2021·浙江)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于(　　) A．－1　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．－3　　　　　　　　D．3 1．答案　C　解析　方法一　因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3． 方法二　因为(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝＝1－3i，所以a＝－3． 2．(2020·全国Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z等于(　　) A．1－i　　　　　B．1＋i　　　　　C．－i　　　　　　D．i 2．答案　D　解析　因为＝＝＝－i，所以z＝i． 3．若复数z满足＝1－i，则复数的虚部为(　　) A．i　　　　　　　　B．－i　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．－1 3．答案　C　解析　∵＝1－i，∴z(1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)，∴z(1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z＝2－i， ∴＝2＋i，∴的虚部为1． 4．(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2 4．答案　D　解