专题43 导数中不等式恒成立问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题43　导数中不等式恒成立问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅱ) 已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 1．解析　(1)当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. (2)设，则， 又，设，则， 若，则， 因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾． 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立． 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数，所以． 当时，有， 所以在上为减函数，所以． 综上，． (3)取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立． 所以对任意的，有， 整理得到：， 故， 故不等式成立． 【方法总结】 1．单变量恒成立之参变分离法 参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≥g(x)max；若f(a)≤g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≤g(x)min．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上恒成立，则a≥g(x)max；若a≤g(x)在x∈D上恒成立，则a≤g(x)min． 利用分离参数法来确定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤： (1)将参数与变量分离，化为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式． (2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值． (3)解不等式f1(a)≥f2(x)max或f1(a)≤f2(x)min，得到a的取值范围． 2．单变量恒成立之最值分析法 遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． 3．单变量不等式能成立之参变分离法 参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x∈D上能成立，则f(a)≥g(x)min；若f(a)≤g(x)在x∈D上能成立，则f(a)≤g(x)max．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上能成立，则a≥g(x)min；若a≤g(x)在x∈D上能成立，则a≤g(x)max． 利用分离参数法来确定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)能成立问题中参数取值范围的基本步骤： (1)将参数与变量分离，化为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式． (2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值． (3)解不等式f1(a)≥f2(x)min或f1(a)≤f2(x)max，得到a的取值范围． 4．单变量不等式能成立之最值分析法 遇到f(x)≥g(x)型的不等式能成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)max≥0或u(x)min≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． 5．最值定位法解双变量不等式恒成立问题的思路策略 (1)用最值定位法解双变量不等式恒成立问题是指通过不等式两端的最值进行定位，转化为不等式两端函数的最值之间的不等式，列出参数所满足的不等式，从而求解参数的取值范围． (2)有关两个函数在各自指定范围内的不等式恒成立问题，这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的，这类不等式的恒成立问题就应该通过最值进行定位． 6．常见的双变量恒成立能成立问题的类型 (1)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)max．(如图1) (2)若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2) min．(如图2) (3)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min．(如图3) (4)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max．(如图4) (5)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max．(如图4) (6)若存在x1∈[a