专题10 解三角形问题-突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题(全国通用)

专题10　解三角形问题 【高考真题】 1．(2022·全国甲理) 已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小 值时，BD＝________． 1．答案　－1　解析　设CD＝2BD＝2m＞0，则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD ADcos∠ADB＝ m2＋4＋2m，在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD ADcos∠ADC＝4m2＋4－4m，所以＝＝＝4－≥4－，当且仅当m＋1＝，即m＝－1时，等号成立，所以当取最小值时，m＝－1．故答案为－1． 【知识总结】 1．正弦定理及其变形 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 2．余弦定理及其推论、变形 a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C. 推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. 3．面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C. 【同类问题】 题型一　三角形中基本量的计算 1．(2021·全国乙)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac， 则b＝ ． 1．答案　2　解析　由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12， 所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2(负值舍去)． 2．(2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________． 2．答案　(1)75°　解析　由正弦定理，得sinB＝＝＝，结合b<c得B＝45°，则A＝180° －B－C＝75°． 3．(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2， c＝，则C＝(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 3．答案　B　解析　由题意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－ sinAcosC＝0，则sinC(sinA＋cosA)＝sinCsin＝0，因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以sin＝0，又因为A∈(0，π)，所以A＋＝π，所以A＝．由正弦定理＝，得＝，则sinC＝，又C∈(0，π)，得C＝． 4．(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 4．答案　C　解析　因为a2＋b2－c2＝2abcos C，且S△ABC＝，所以S△ABC＝＝absin C， 所以tan C＝1．又C∈(0，π)，故C＝． 5．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB等于(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 5．答案　A　解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝ 3，所以cos B＝＝＝． 6．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD， ∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________． 6．答案　－　解析　在△ABD中，∵AB⊥AD，AB＝AD＝，∴BD＝，∴FB＝BD＝．在△ACE 中，∵AE＝AD＝，AC＝1，∠CAE＝30°，∴EC＝＝1，∴CF＝CE＝1．又∵BC＝＝＝2，∴在△FCB中，由余弦定理得cos∠FCB＝＝＝－． 7．(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________． 7．答案　　解析　因为A，C为△ABC的内角，且cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，所以 sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝．又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝． 8．(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3 8．答