【创新设计】2013-2014学年高中数学（湘教版）选修2-1（备课资源）第3章 空间向量与立体几何（配套课件+活页训练+章末质量评估，14份）

课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 3.4　直线与平面的垂直关系 3．5　平面的法向量 1．掌握线面垂直的判定定理以及三垂线定理和三垂线定理的逆定理． 2．理解平面的法向量的概念． 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 自学导引 1．如果一条直线l与一个平面α相交，并且垂直于平面α内所有的直线，就称直线l与平面α ，记作 ． 与平面α相交而不垂直的直线l称为平面α的 ． 2．过空间任意一点P作平面α的垂线与α相交于点P0，则P0称为点P在平面α内的 ． 预先给定平面α，空间任何一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成一个图形，称为这个空间图形在平面α上的 ． 3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内两条 直线，那么这条直线就与这个平面 ． 垂直 l⊥α 斜线 射影 射影 相交 垂直 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 4．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 ． 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直． 5．如果有向线段AB所在的直线与平面α平行，或者AB在平面α上，就称向量eq \o(AB,\s\up11(→))与平面α ． 如果有向线段AB所在的直线与平面α垂直，就称向量eq \o(AB,\s\up11(→))与平面α垂直． 6．与同一平面α 的向量相互平行．与同一个非零向量垂直的不同的平面相互 ． 7．与平面α垂直的非零向量称为α的 ．平面的法向量可以代表平面的 ． 垂直 斜线 平行 垂直 平行 法向量 方向 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 自主探究 1．一个平面的法向量唯一吗？具有哪些性质？ 提示　平面的法向量不唯一，可以有无数个，这些法向量的 共有性质是：①法向量垂直于与平面共面的所有向量，②一个平面的所有法向量互相平行． 2．如何确定一个平面的法向量？ 提示　求一个平面的法向量，一般先看有没有与这个平面垂直的向量，若没有再用待定系数法求出． 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 预习测评 1．已知点A(1，0，0)，B(1，0，1)，C(0，0，0)，则平面ABC的一个法向量是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(1，1，1) B．(0，－1，0) C．(2，1，1) D．(0，0，2) 答案　B 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 2．斜线b在平面α内的射影为c，直线a⊥c，则a与b(　　)． A．垂直 B．不垂直 C．共面或垂直 D．以上都有可能 解析　若a⊂α，则由三垂线定理知a⊥b. 当a不在平面α内时，a与b的位置关系不确定． 答案　D 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 3．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，1，1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________． 解析　OM·e＝(x，y，z)·(1，1，1)＝x＋y＋z＝0. 答案　x＋y＋z＝0 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 4．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是________． 解析　直线AC⊥AB，由C为动点，则直线AC运动时构成一个平面β，则AB⊥β，而α与β的交线即为点C的轨迹． 答案　一条直线 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 要点阐释 1．三垂线定理及逆定理的结构 三垂线定理和它的逆定理都涉及四条直线：平面内的一条直线，平面的一条垂线，平面的一条斜线，斜线在平面内的射影．平面内的这条直线，有三条直线和它垂直，三垂线定理因此而得名．显然平面内的这条直线垂直于那三条直线所在的平面． 三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在引用时要清楚以下问题： (1)从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”；其逆定理的条件是“和斜线垂直”． (2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题；逆定理正好相反． 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 2．若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： (1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． (3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.)) (4