专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法（知识点讲解）- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试（新教材·新高考）

专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 1．结合集合，考查不等式的概念、性质，结合作差法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养． 2．结合函数的图象，考查不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 【知识点展示】 （一）不等式的性质 1．实数的大小 (1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大. (2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b. 2．不等关系与不等式 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式. 3.比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． *(3)函数的单调性法 将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 4．判断不等式是否成立的方法 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． (2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 5．求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 6.不等式性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c. (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. (5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． (8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． （二）不等式的解法 1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． *2．分式不等式的解法 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式. >0⇔f(x)g(x)__>__0，<0⇔f(x)·g(x)__<__0. ≥0⇔ ⇔f(x)·g(x)__>__0或. ≤0⇔⇔f(x)·g(x)__<__0或 3．简单的高次不等式的解法 高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法 ①将f(x)最高次项系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 4．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论． (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． （三）绝对值不等式 1．绝对值不等式的解法 （1）形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． （2）形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式 ①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集 ②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)， |ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)． 2. 绝对值不等式的应用 如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． （四）几条常用结论 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．两个重要不等式 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 【常考题型剖析】 题型一 用不等式表示不等关系